橢圓中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上，離心率為
1
2
，點(diǎn)P（x，y）是橢圓上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，若2x+
3
y的最大值為10，求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．
分析：設(shè)橢圓的方程為
x2
a2
+
y2
b2
=1，由離心率算出a=2c且b=
3
c，因此通過(guò)三角換元得2x+
3
y=5csin（θ+φ），其中tanφ=
4
3
．根據(jù)最大值為10得到c=2，由此即可得到該橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．
解答：解：設(shè)橢圓方程為
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）
∵離心率e=
c
a
=
1
2
，
∴a=2c，可得b2=a2-c2=3c2，得b=
3
c
點(diǎn)P（x，y）是橢圓上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，
設(shè)x=acosθ=2ccosθ，y=bsinθ=
3
csinθ
∴2x+
3
y=4ccosθ+3csinθ=5csin（θ+φ），其中tanφ=
4
3

∵2x+
3
y的最大值為10，
∴5c=10，可得c=2，所以a=4，b=2
3

因此橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：
x2
16
+
y2
12
=1
點(diǎn)評(píng)：本題給出離心率為
1
2
，其上一點(diǎn)P（x，y）滿足2x+
3
y的最大值為10的情況下求橢圓方程，著重考查了橢圓的基本概念、標(biāo)準(zhǔn)方程和簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)等知識(shí)，屬于基礎(chǔ)題．
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知橢圓中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上，離心率e=
2
2
，點(diǎn)F1，F(xiàn)2分別為橢圓的左、右焦點(diǎn)，過(guò)右焦點(diǎn)F2且垂直于長(zhǎng)軸的弦長(zhǎng)為
2

（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）過(guò)橢圓的左焦點(diǎn)F1作直線l，交橢圓于P，Q兩點(diǎn)，若
F2P
•
F2Q
=2，求直線l的傾斜角．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程
橢圓中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上．離心率為
1
2
，點(diǎn)P（x，y）是橢圓上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，若2x+
3
y的最大值為10，求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

橢圓中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上，離心率為
2
2
，橢圓右準(zhǔn)線與x軸交于E（2，0）．
（Ⅰ）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（Ⅱ）若M（2，t）（t＞0），直線x+2y-10=0上有且僅有一點(diǎn)P使
PO
•
PM
=0．求以O(shè)M為直徑的圓的方程；
（Ⅲ）設(shè)橢圓左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，過(guò)E點(diǎn)作不與y軸垂直的直線l與橢圓交于A，B兩個(gè)不同的點(diǎn)（B在E，A之間）若有
F1A
=λ
F2B
，求此時(shí)直線l的方程．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

一個(gè)橢圓中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)F1，F(xiàn)2在x軸上，P（2，
3
）是橢圓上一點(diǎn)，且|PF1|、|F1F2|、|PF2|成等差數(shù)列，則橢圓方程為（　�。�

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