Question

已知橢圓中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上，離心率e=

2

2

，點(diǎn)F₁，F(xiàn)₂分別為橢圓的左、右焦點(diǎn)，過右焦點(diǎn)F₂且垂直于長軸的弦長為

2

（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）過橢圓的左焦點(diǎn)F₁作直線l，交橢圓于P，Q兩點(diǎn)，若

F2P

•

F2Q

=2，求直線l的傾斜角．

Answer 1

分析：（1）設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)．右焦點(diǎn)F₂（c，0），把x=c代入橢圓方程得

c2

a2

+

y2

b2

=1，解得y=±

b2

a

．可得

2b2

a

=

2

．利用離心率計(jì)算公式及a，b，c的關(guān)系可得

2b2 a = 2 e= c a = 2 2 a2=b2+c2

，解出即可．
（2）設(shè)直線l與橢圓的交點(diǎn)P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂）．分當(dāng)直線l的斜率為0和不為時討論，斜率不為0時設(shè)直線l的方程為my=x+1，與橢圓的方程聯(lián)立，得到根與系數(shù)的關(guān)系，再利用數(shù)量積

F2P

•

F2Q

=2，即可得出．直線l的斜率為0時比較簡單．

解答：解：（1）由題意可設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)．
右焦點(diǎn)F₂（c，0），把x=c代入橢圓方程得

c2

a2

+

y2

b2

=1，解得y=±

b2

a

．
∴

2b2

a

=

2

．
聯(lián)立

2b2 a = 2 e= c a = 2 2 a2=b2+c2

，解得

a2=2 b=c=1

．
∴橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為

x2

2

+y2=1．
（2）設(shè)直線l與橢圓的交點(diǎn)P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂）．
①當(dāng)直線l的斜率不為0時，設(shè)直線l的方程為my=x+1．
聯(lián)立

my=x+1 x2 2 +y2=1

，得（2+m²）y²-2my-1=0．
∴y1+y2=

2m

2+m2

，y1y2=

-1

2+m2

．
∵2=

F2P

•

F2Q

=（x₁-1，y₁）•（x₂-1，y₂）=（my₁-2，y₁）•（my₂-2，y₂）=（m²+1）y₁y₂-2m（y₁+y₂）+4，
∴2=

-(m2+1)

2+m2

-

4m2

2+m2

+4，
化為m²=1，解得m=±1，
∴直線l的斜率k=

1

m

=±1．
設(shè)直線的傾斜角為α，則tanα=±1．
∴α=

π

4

或

3π

4

．
②當(dāng)直線l的斜率為0時，P(-

2

，0)，Q(

2

，0)．

F2P

•

F2Q

=(-

2

-1)×(

2

-1)=-1≠2，不符合題意，應(yīng)舍去．
綜上可知：直線l的傾斜角α為

π

4

或

3π

4

．

點(diǎn)評：本題綜合考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)、直線與橢圓相交問題轉(zhuǎn)化為方程聯(lián)立得到根與系數(shù)的關(guān)系、向量的數(shù)量積等基礎(chǔ)知識與基本技能，考查了分類討論的思想方法、推理能力和計(jì)算能力．