Question

已知數(shù)列{a_n}前n項和為S_n，向量

a

=(2，n)與

b

=(n+1，Sn)，且

a

=λ

b

，λ∈R．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（2）求{

1

anan+2

}的前n項和T_n，不等式T_n＜

3

4

loga（1-a）對任意的正整數(shù)n恒成立，求a的取值范圍．

Answer 1

考點：數(shù)列與不等式的綜合

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）由

a

=λ

b

，推導出Sn=

n(n+1)

2

，由此能求出a_n=n．
（2）由（1）知T_n=

1

1×3

+

1

2×4

+

1

3×5

+…+

1

n×(n+2)

，由此利用裂項求和法根據(jù)題設條件推導出

3

4

≤

3

4

loga(1-a)，從而能求出a的取值范圍．

解答： 解：（1）∵

a

=λ

b

，∴

a

∥

b

，
∴

2

n+1

=

n

Sn

，
∴Sn=

n(n+1)

2

，
∴a₁=S₁=1，
當n≥2時，a_n=S_n-S_n-1=

n(n+1)

2

-

n(n-1)

2

=n，
當n=1時，a₁=1成立，
∴a_n=n…（4分）
（2）Tn=

1

a1a3

+

1

a2a4

+

1

a3a5

+…+

1

anan+2

=

1

1×3

+

1

2×4

+

1

3×5

+…+

1

n×(n+2)

=

1

2

×(1-

1

3

)+

1

2

×(

1

2

-

1

4

)+

1

2

×(

1

3

-

1

5

)+…+

1

2

×(

1

n-1

-

1

n+1

)+

1

2

×(

1

n

-

1

n+2

)
=

1

2

×(1+

1

2

-

1

n+1

-

1

n+2

)=

3

4

-

1

2

×(

1

n+1

+

1

n+2

)，…（8分）
∵Tn＜

3

4

不等式Tn＜

3

4

loga(1-a)對任意的正整數(shù)n恒成立
∴

3

4

≤

3

4

loga(1-a)，
∴1≤log_a（1-a）…（10分）
∴

1≤loga(1-a) 0＜a＜1

，
∴l(xiāng)og_aa≤log_a（1-a），
∴a≥1-a，∴1＞a≥

1

2

．
∴a的取值范圍是[

1

2

，1）．…（12分）

點評：本題考查數(shù)列的通項公式的求法，考查實數(shù)的取值范圍的求法，解題時要認真審題，注意裂項求和法的合理運用．