Question

一個(gè)袋中裝有6個(gè)形狀大小完全相同的小球，球的編號(hào)分別為1，2，3，4，5，6．
（Ⅰ）若從袋中每次隨機(jī)抽取1個(gè)球，有放回的抽取3次，求恰有兩次編號(hào)為3的倍數(shù)的概率；
（Ⅱ）若一次從袋中隨機(jī)抽取3個(gè)球，記球的最大編號(hào)為X，求隨機(jī)變量X的分布列和X的數(shù)學(xué)期望．

Answer 1

考點(diǎn)：離散型隨機(jī)變量的期望與方差,互斥事件的概率加法公式

專題：概率與統(tǒng)計(jì)

分析：（I）從袋中隨機(jī)抽取1個(gè)球，由已知條件求出其編號(hào)為3的倍數(shù)的概率，由此能求出有放回的抽取3次，恰有2次編號(hào)為3的倍數(shù)的概率．
（II）隨機(jī)變量X所有可能的取值為3，4，5，6．分別求出P（X=3），P（X=4），P（X=5），P（X=6），由此能求出隨機(jī)變量X的分布列和數(shù)學(xué)期望．

解答： 解：（I）從袋中隨機(jī)抽取1個(gè)球，
其編號(hào)為3的倍數(shù)的概率p=

2

6

=

1

3

，（2分）
有放回的抽取3次，恰有2次編號(hào)為3的倍數(shù)的概率為
P₃（2）=

C

1 3

(

1

3

)2(1-

1

3

)=

6

27

．（6分）
（II）隨機(jī)變量X所有可能的取值為3，4，5，6．（7分）
P（X=3）=

C 3 3

C 3 6

=

1

20

，P（X=4）=

C 2 3

C 3 6

=

3

20

，
P（X=5）=

C 2 4

C 3 6

=

3

10

，P（X=6）=

C 2 5

C 3 6

=

1

2

，
∴隨機(jī)變量X的分布列為：

X	3	4	5	6
P	1 20	3 20	3 10	1 2

（11分）
EX=3×

1

20

+4×

3

20

+5×

3

10

+6×

1

2

=

21

4

．（13分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查概率的求法，考查離散型隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望的求法，是中檔題，解題時(shí)要注意排列組合的合理運(yùn)用．