Question

13．設(shè)函數(shù)f（x）=alnx-bx²（x＞0）
（1）若函數(shù)f（x）的圖象在點（1，-$\frac{1}{2}$）處的切線與x軸平行，探究函數(shù)f（x）在[$\frac{1}{e}$，e]上是否存在極小值；
（2）當a=1，b=0時，函數(shù)g（x）=f（x）-kx，k為常數(shù)，若函數(shù)g（x）有兩個相異零點x₁，x₂，證明：x₁，x₂＞e²．

Answer 1

分析 （1）求出函數(shù)的導數(shù)，根據(jù)函數(shù)f（x）的圖象在點（1，-$\frac{1}{2}$）處的切線與x軸平行，得到關(guān)于a，b的方程組，解出a，b的值，從而求出f（x）的解析式，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，判斷函數(shù)的極值問題即可；
（2）求出$\frac{l{nx}_{1}-l{nx}_{2}}{{{x}_{1}-x}_{2}}$=k，問題轉(zhuǎn)化為證明$\frac{l{nx}_{1}-l{nx}_{2}}{{{x}_{1}-x}_{2}}$＞$\frac{2}{{x}_{1}{+x}_{2}}$，即證明ln$\frac{{x}_{1}}{{x}_{2}}$＞$\frac{2{（x}_{1}{-x}_{2}）}{{{x}_{1}+x}_{2}}$，設(shè)t=$\frac{{x}_{1}}{{x}_{2}}$，則t＞1，設(shè)h（t）=lnt-$\frac{2（t-1）}{t+1}$，（t＞1），根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性證明即可．

解答 解：（1）f′（x）=$\frac{a}{x}$-2bx，
函數(shù)f（x）的圖象在點（1，-$\frac{1}{2}$）處的切線與x軸平行，
∴$\left\{\begin{array}{l}{f′（1）=a-2b=0}\\{f（1）=-b=-\frac{1}{2}}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{a=1}\\{b=\frac{1}{2}}\end{array}\right.$，
故f（x）=lnx-$\frac{1}{2}$x²，f′（x）=$\frac{1{-x}^{2}}{x}$，
令f′（x）＞0，解得：$\frac{1}{e}$≤x＜1，令f′（x）＜0，解得：1＜x≤e，
故f（x）在[$\frac{1}{e}$，1）遞增，在（1，e]遞減，
故f（x）在[$\frac{1}{e}$，e]商不存在極小值；
（2）a=1，b=0時，g（x）=f（x）-kx=lnx-kx，
由g（x）=0，得：lnx=kx，設(shè)x₁＞x₂，
∵lnx₁-kx₁=0，lnx₂-kx₂=0，
∴l(xiāng)nx₁+lnx₂=k（x₁+x₂），
lnx₁-lnx₂=k（x₁-x₂），
∴$\frac{l{nx}_{1}-l{nx}_{2}}{{{x}_{1}-x}_{2}}$=k，
要證明x₁x₂＞e²，只需證明lnx₁+lnx₂＞2，
即證明k（x₁+x₂）＞2，即證明k＞$\frac{2}{{x}_{1}{+x}_{2}}$，
即證明$\frac{l{nx}_{1}-l{nx}_{2}}{{{x}_{1}-x}_{2}}$＞$\frac{2}{{x}_{1}{+x}_{2}}$，
即證明ln$\frac{{x}_{1}}{{x}_{2}}$＞$\frac{2{（x}_{1}{-x}_{2}）}{{{x}_{1}+x}_{2}}$，
設(shè)t=$\frac{{x}_{1}}{{x}_{2}}$，則t＞1，
設(shè)h（t）=lnt-$\frac{2（t-1）}{t+1}$，（t＞1），
則h′（t）=$\frac{{（t-1）}^{2}}{{t（t+1）}^{2}}$＞0，
∴函數(shù)h（t）在（1，+∞）遞增，
∵h（1）=0，∴h（t）＞h（1）=0，
∴l(xiāng)nt＞$\frac{2（t-1）}{t+1}$，
∴x₁x₂＞e²．

點評 本題考查函數(shù)的單調(diào)性、最值問題，考查導數(shù)的應(yīng)用以及分析理解與計算能力，是一道綜合題．