Question

8．在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為正方形，PA⊥平面ABCD，PA=AB=2，E，F分別是PB，PD的中點．
（Ⅰ）求證：PB∥平面FAC；
（Ⅱ）求三棱錐P-EAD的體積；
（Ⅲ）求證：平面EAD⊥平面FAC．

Answer 1

分析 （Ⅰ）連接BD，與AC交于點O，連接OF，推導出OF∥PB，由此能證明PB∥平面FAC．
（Ⅱ）由PA⊥平面ABCD，知PA為棱錐P-ABD的高．由S_△PAE=S_△ABE，知${V_{P-EAD}}=\frac{1}{2}×{V_{P-ABD}}$，由此能求出結果．
（Ⅲ）推導出AD⊥PB，AE⊥PB，從而PB⊥平面EAD，進而OF⊥平面EAD，由此能證明平面EAD⊥平面FAC．

解答 證明：（Ⅰ）連接BD，與AC交于點O，連接OF，
在△PBD中，O，F分別是BD，PD的中點，
所以OF∥PB，
又因為OF?平面FAC，PB?平面FAC，
所以PB∥平面FAC．
解：（Ⅱ）因為PA⊥平面ABCD，所以PA為棱錐P-ABD的高．
因為PA=AB=2，底面ABCD是正方形，
所以${V_{P-ABD}}=\frac{1}{3}×{S_{△ABD}}×PA$=$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×2×2×2=\frac{4}{3}$，
因為E為PB中點，所以S_△PAE=S_△ABE，
所以${V_{P-EAD}}=\frac{1}{2}×{V_{P-ABD}}=\frac{2}{3}$．
證明：（Ⅲ）因為AD⊥平面PAB，PB?平面PAB，
所以AD⊥PB，
在等腰直角△PAB中，AE⊥PB，
又AE∩AD=A，AE?平面EAD，AD?平面EAD，
所以PB⊥平面EAD，
又OF∥PB，
所以OF⊥平面EAD，
又OF?平面FAC，
所以平面EAD⊥平面FAC．

點評 本題考查線面平行、面面垂直的證明，考查三棱錐的體積的求法，考查推理論證能力、空間思維能力、運算求解能力，考查轉化化歸思想、數形結合思想，是中檔題．