Question

已知

a

，

b

是非零向量，t為實(shí)數(shù)，設(shè)

u

=

a

+

tb

．
（1）當(dāng)|

u

|取最小值時(shí)，求實(shí)數(shù)t的值；
（2）當(dāng)|

u

|取最小值時(shí)，求證

b

⊥（

a

+

b

）．

Answer 1

分析：（1）要求|

u

|取最小值，我們可以根據(jù)

u

=

a

+

tb

，計(jì)算|

u

|²，然后構(gòu)造一個(gè)關(guān)于t的函數(shù)，利用二次函數(shù)求最值的辦法，進(jìn)行求解．
（2）要求證

b

⊥（

a

+

b

），可根據(jù)向量垂直的充條條件，判斷

b

•（

a

+

b

）=0．

解答：解：（1）解：|

u

|²=

a

²+2

a

•

b

t+（t²）

b

²
=|

b

|²t²+2

a

•

b

t+|

a

|²
當(dāng)|

u

|²有最小值時(shí)，
|

u

|有最小值．
設(shè)f（t）=（

b

t）²+2

a

•

b

t+

a

²，
f'（t）=2

b

²t+2

a

b

=0時(shí)，
|

u

|有最小值
此時(shí)t=-

a • b

| b |2

（2）證明：∵

b

•（

a

+t

b

）
=

a

•

b

+（-

a • b

| b |2

•

b

²）
=

a

•

b

-

a

•

b

=0
∴

b

與

a

+t

b

垂直．

點(diǎn)評：判斷兩個(gè)向量的關(guān)系（平行或垂直）或是已知兩個(gè)向量的關(guān)系求未知參數(shù)的值，要熟練掌握向量平行（共線）及垂直的坐標(biāo)運(yùn)算法則，即“兩個(gè)向量若平行，交叉相乘差為0，兩個(gè)向量若垂直，對應(yīng)相乘和為0”．