精英家教網(wǎng)如圖,在棱長為a的正方體ABCD-A1B1C1D1中,M、N分別是AA1、D1C1的中點(diǎn),過D、M、N三點(diǎn)的平面與正方體的下底面相交于直線l;
(1)畫出直線l;
(2)設(shè)l∩A1B1=P,求PB1的長;
(3)求D到l的距離.
分析:(1)根據(jù)正方體的幾何特征,我們易得連接DM并延長交D1A1的延長線于Q.連接NQ,即可得到滿足條件的直線l;
(2)若l∩A1B1=P,即QN∩A1B1=P,我們易根據(jù)三角形相似的性質(zhì)得到A1是QD1的中點(diǎn).進(jìn)而求出PB1的長;
(3)作D1H⊥l于H,連接DH,根據(jù)正方體的幾何特征,易得DH⊥l,即DH的長就是D到l的距離.解Rt△QD1N即可得到答案.
解答:解:(1)連接DM并延長交D1A1的延長線于Q.連接NQ,
則NQ即為所求的直線l.
(2)設(shè)QN∩A1B1=P,△A1MQ≌△MAD,
∴A1Q=AD=A1D1,A1是QD1的中點(diǎn).
∴A1P=
1
2
D1N=
a
4
.∴PB1=
3
4
a.
(3)作D1H⊥l于H,連接DH,可證明l⊥平面DD1H,則DH⊥l,則DH的長就是D到l的距離.
在Rt△QD1N中,兩直角邊D1N=
a
2
,D1Q=2a,斜邊QN=
17
2
a
,∴D1H•QN=D1N•D1Q,即D1H=
2
17
17
a
,DH=
(
2
17
17
a)
2
+a2
=
357
17
a
,∴D1到l的距離為
357
17
a
點(diǎn)評:本題考查的知識點(diǎn)是棱柱的結(jié)構(gòu)特征,點(diǎn)到直線的距離計(jì)算,其中熟練掌握正方體的幾何特征,是解答本題的關(guān)鍵.
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如圖,在棱長為2的正四面體A-BCD中,若以△ABC為視角正面,則其正視圖的面積是( )

A.
B.
C.
D.

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