Question

在直角坐標系xOy中，以O為極點，x軸正半軸為極軸建立極坐標系，曲線C₁的極坐標方程為ρsin（θ-

π

4

）=3

2

，曲線C₂的直角坐標方程為

x2

16

+

y2

9

=1．
（Ⅰ）求曲線C₁的直角坐標方程；
（Ⅱ）已知P為曲線C₂上一點，Q為曲線C₁上一點，求P、Q兩點間距離的最小值．

Answer 1

考點：簡單曲線的極坐標方程

專題：坐標系和參數(shù)方程

分析：（1）展開兩角差的正弦，代入極坐標與直角坐標的互化公式的直線的直角坐標方程；
（2）設橢圓上的點為P（4cosα，3sinα），其中α∈[0，2π），由點到直線的距離公式結合三角函數(shù)的值域得答案．

解答： 解：（1）由ρsin（θ-

π

4

）=3

2

，得

2

2

ρsinθ-

2

2

ρcosθ=3

2

．
即ρsinθ-ρcosθ=6，
∴直線l的直角坐標方程為x-y+6=0；
（2）P為

x2

16

+

y2

9

=1上一點，設P（4cosα，3sinα），其中α∈[0，2π），
則P到直線l的距離d=

|4cosα-3sinα+6|

2

=

|5cos(α+φ)+6|

2

，其中α∈[0，2π），
∴當cos（α+φ）=1時，d的最大值為

11 2

2

．

點評：本題考查了極坐標方程與直角坐標方程的互化，考查了點到直線的距離公式，考查了三角函數(shù)最值的求法，是基礎題．