Question

已知函數(shù)f（x）=

ex

a

+

a

ex

（a＞0，a∈R）是R上的偶函數(shù)．
（1）求a的值；
（2）證明函數(shù)f（x）在[0，+∞）上是增函數(shù)；
（3）設x∈[t，t+1]，用含t的表達式表示函數(shù)f（x）在[t，t+1]上的最小值g（t），求g（t）的表達式．

Answer 1

考點：函數(shù)的最值及其幾何意義,函數(shù)單調(diào)性的判斷與證明,函數(shù)奇偶性的性質(zhì)

專題：分類討論,函數(shù)的性質(zhì)及應用

分析：（1）利用f（-x）=f（x）恒成立，可求出a的值；
（2）先求出原函數(shù)的導數(shù)，判斷當x＞0時，導函數(shù)的符號即可；
（3）根據(jù)（1），（2）的結(jié)果先確定原函數(shù)的單調(diào)性，再討論原函數(shù)在[t，t+1]上的單調(diào)性，從而求出最小值g（t）．

解答： 解：（1）由題意f（x）=

ex

a

+

a

ex

，（a＞0）且f（-x）=f（x）恒成立，
∴

e-x

a

+

a

e-x

=

ex

a

+

a

ex

恒成立，化簡得

1

aex

+aex=

ex

a

+

a

ex

恒成立，∴a=

1

a

，解得a=1或-1（舍），
∴a=1．
（2）由（1）知f（x）=ex+

1

ex

，f′(x)=ex-

1

ex

，
∵當x≥0，ex≥1，0＜

1

ex

≤1，
∴f′（x）≥0在[0，+∞）上恒成立，所以函數(shù)f（x）在[0，+∞）上單調(diào)遞增．
（3）由（1）（2）可知，原函數(shù)在（-∞，0]上遞減，在[0，+∞）上遞增，且y_min=f（0）=2，
對于區(qū)間[t，t+1]，
當t≤-1時，t+1≤0，原函數(shù)在[t，t+1]上遞減，所以y_min=f（t+1）=et+1+

1

et+1

，
當-1＜t≤0時，t＜0≤t+1，原函數(shù)在[t，0]上遞減，在[0，t+1]上遞增，所以y_min=f（0）=2，
當t＞0時，原函數(shù)在[t，t+1]上遞增，所以y_min=f（t）=et+

1

et

，
綜上g（t）=

et+1+ 1 et+1 ，t≤-1 2，-1＜t≤0 et+ 1 et ，t＞0

．

點評：本題重點考查了函數(shù)奇偶性的定義、單調(diào)性的判斷方法以及兩者之間的關系，第三問類似于二次函數(shù)在指定區(qū)間上最值得求法，要注意按區(qū)間端點與增減區(qū)間的分界點0的關系進行討論，討論要做到不重不漏．