Question

如圖，平面ABCD⊥平面ADEF，其中ABCD為矩形，ADEF為梯形，AF∥DE，AF⊥FE，AF=AD=2DE=2．
（Ⅰ） 求異面直線EF與BC所成角的大�。�
（Ⅱ） 若二面角A-BF-D的平面角的余弦值為，求AB的長．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ） 延長AD，F(xiàn)E交于Q，根據(jù)異面直線夾角的定義，根據(jù)BC∥AD，得∠AQF是異面直線EF與BC所成的角，解△AQF可得答案．
（II）幾何法：取AF的中點(diǎn)G，過G作GH⊥BF，垂足為H，連接DH，可證得∠DHG為二面角A-BF-D的平面角，解三角形DGH可得答案．
（II）向量法：以F為原點(diǎn)，AF，F(xiàn)Q所在的直線分別為x軸，y軸建立空間直角坐標(biāo)系Fxyz．求出二面角A-BF-D中兩個半平面的法向量，進(jìn)而構(gòu)造AB長的方程，解方程可得答案．
解答：解：（Ⅰ） 延長AD，F(xiàn)E交于Q．
∵ABCD是矩形，
∴BC∥AD，
∴∠AQF是異面直線EF與BC所成的角．
在梯形ADEF中，由DE∥AF，AF⊥FE，AF=2，DE=1得
∠AQF=30°．
即異面直線EF與BC所成角為30°…（7分）
（Ⅱ） 方法一：
設(shè)AB=x．取AF的中點(diǎn)G．由題意得
DG⊥AF．
∵平面ABCD⊥平面ADEF，AB⊥AD，
∴AB⊥平面ADEF，
∴AB⊥DG．
∴DG⊥平面ABF．
過G作GH⊥BF，垂足為H，連接DH，則DH⊥BF，
∴∠DHG為二面角A-BF-D的平面角．
在直角△AGD中，AD=2，AG=1，得
DG=．
在直角△BAF中，由=sin∠AFB=，得=，
∴GH=．
在直角△DGH中，DG=，GH=，得
DH=．
∵cos∠DHG==，得x=，
∴AB=．…（15分）
方法二：設(shè)AB=x．
以F為原點(diǎn)，AF，F(xiàn)Q所在的直線分別為x軸，y軸建立空間直角坐標(biāo)系Fxyz．則
F（0，0，0），A（-2，0，0），E（0，，0），D（-1，，0），B（-2，0，x），
∴=（1，-，0），=（2，0，-x）．
∵EF⊥平面ABF，所以平面ABF的法向量可取=（0，1，0）．
設(shè)=（x₁，y₁，z₁）為平面BFD的法向量，則
∴可取=（，1，）．
∵cos＜，＞==，得x=，
∴AB=．
…（15分）
點(diǎn)評：本題考查的知識點(diǎn)是異面直線及其所成的角，二面角的平面角及求法，其中（1）的關(guān)鍵是利用平移求出異面直線夾角的幾何角，（2）中幾何的關(guān)鍵是找出二面角的平面角，向量法的關(guān)鍵是構(gòu)造空間坐標(biāo)系，求出二面角A-BF-D中兩個半平面的法向量