(2007•東城區(qū)一模)已知f(x)=(x-1)2,g(x)=10(x-1),數(shù)列{an}滿足a1=2,(an+1-an)g(an)+f(an)=0,bn=
9
10
(n+2)(an-1)

(1)求證:數(shù)列{an-1}是等比數(shù)列;  
(2)當n取何值時,{bn}取最大值,并求出最大值;
(3)若
tm
bm
tm+1
bm+1
對任意m∈N*恒成立,求實數(shù)t的取值范圍.
分析:(1)將an,代入函數(shù)f(x)與g(x)的解析式化簡得(an-1)[10×(an+1-an)+an-1]=0,所以兩邊除以an-1,得10(an+1-1)=9(an-1),而a1-1=1,{an-1}就是首項為1,公比為
9
10
的等比數(shù)列.
(2)求出bn的通項公式,然后研究{bn}的單調性,從而求出n取何值時,bn取最大值,以及最大值;
(3)設數(shù)列{
tn
bn
},若
tm
bm
tm+1
bm+1
對任意m∈N*恒成立,則數(shù)列{
tn
bn
}為遞增數(shù)列,設其通項為cn=
1
n+2
(
10t
9
)
n
為遞增數(shù)列;那么對于任意的自然數(shù)n,我們都有cn+1≥cn,從而求出t的取值范圍.
解答:證明:(1)由方程,(an+1-an)g(an)+f(an)=0
得:(an+1-an)×10×(an-1)+(an-1)2=0
整理得(an-1)[10×(an+1-an)+an-1]=0;
顯然由a1=2,則an顯然不是常數(shù)列,且不等于1,所以兩邊除以an-1;
得10×(an+1-an)+an-1=0.整理后得:10(an+1-1)=9(an-1),
a1-1=1,{an-1}就是首項為1,公比為
9
10
的等比數(shù)列.
解:(2)將an-1=(
9
10
n-1代入bn=
9
10
(n+2)(an-1)
得bn=(
9
10
n×(n+2).
bn+1-bn=(
9
10
n+1×(n+3)-(
9
10
n×(n+2)=(
9
10
n×
7-n
10

∴{bn}在[1,7]上單調遞增,在[8,+∞)上單調遞減
∴當n取7或8,{bn}取最大值,最大值為9×(
9
10
7
(3)設數(shù)列{
tn
bn
},若
tm
bm
tm+1
bm+1
對任意m∈N*恒成立,
則數(shù)列{
tn
bn
}為遞增數(shù)列,設其通項為cn=
1
n+2
(
10t
9
)
n
為遞增數(shù)列;
那么對于任意的自然數(shù)n,我們都有cn+1>cn 顯然我們可以得:
10t
9
n+3
n+2

該不等式恒成立條件是左邊的比右邊的最大值還要大,就行取n=1.求得t>
6
5

∴實數(shù)t的取值范圍為(
6
5
,+∞)
點評:本題主要考查了等比數(shù)列的判定,以及數(shù)列的最值和數(shù)列的單調性的判定,是一道綜合題,有一定的難度.
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x2
2
+
y2
m
=1
的離心率為
1
2
,則m=
3
2
3
2

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(2007•東城區(qū)一模)設A,B分別是直線y=
2
5
5
x
y=-
2
5
5
x
上的兩個動點,并且|
AB
|=
20
,動點P滿足
OP
=
OA
+
OB
.記動點P的軌跡為C.
(I) 求軌跡C的方程;
(Ⅱ)若點D的坐標為(0,16),M、N是曲線C上的兩個動點,且
DM
DN
,求實數(shù)λ的取值范圍.

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