Question

已知：如圖，在正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E是CC₁的中點，F(xiàn)是AC，BD的交點．
求證：A₁F⊥平面BED．

Answer 1

【答案】分析：欲證A₁F⊥平面BED，根據(jù)直線與平面垂直的判定定理可知只需證A₁F⊥平面BED內(nèi)兩相交直線垂直，取BC中點G，連接FG，B₁G，A₁F⊥BD，A₁F⊥BE，EB∩BD=B，滿足定理條件．
解答：證明：AA₁⊥平面ABCD，AF是A₁F在面ABCD上的射影
又∵AC⊥BD，∴A₁F⊥BD
取BC中點G，連接FG，B₁G，
∵A₁B₁⊥平面BCC₁B₁，F(xiàn)G⊥平面BCC₁B₁，
∴B₁G為A₁F在面BCC₁B₁上的射影，
又∵正方形BCC₁B₁中，E，G分別為CC₁，BC的中點，∴BE⊥B₁G，
∴A₁F⊥BE又∵EB∩BD=B，
∴A₁F⊥平面BED．
點評：本題主要考查了直線與平面垂直的判定，考查空間想象能力、運算能力和推理論證能力，屬于基礎(chǔ)題．