Question

20．若不等式組$\left\{{\begin{array}{l}{x+3y-4≥0}\\{3x+y-4≤0}\\{x≥0}\end{array}}\right.$所表示的平面區(qū)域被直線y=kx+$\frac{4}{3}$分為面積相等的兩部分，則k的值是（　�。�

• A． $\frac{3}{7}$
• B． $\frac{7}{3}$
• C． $\frac{3}{4}$
• D． $\frac{4}{3}$

Answer 1

分析 由約束條件作出可行域，由直線y=kx+$\frac{4}{3}$過點(diǎn)A（0，$\frac{4}{3}$），結(jié)合平面區(qū)域被直線y=kx+$\frac{4}{3}$分為面積相等的兩部分，可知直線過B，C的中點(diǎn)D，求出D的坐標(biāo)，利用兩點(diǎn)求斜率公式得答案．

解答 解：由約束條件$\left\{{\begin{array}{l}{x+3y-4≥0}\\{3x+y-4≤0}\\{x≥0}\end{array}}\right.$作出可行域如圖，

A（0，$\frac{4}{3}$），C（0，4），
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{3x+y-4=0}\\{x+3y-4=0}\end{array}\right.$，解得B（1，1），
直線y=kx+$\frac{4}{3}$過定點(diǎn)A（0，$\frac{4}{3}$），
要使平面區(qū)域被直線y=kx+$\frac{4}{3}$分為面積相等的兩部分，
則直線y=kx+$\frac{4}{3}$過BC的中點(diǎn)D，
由中點(diǎn)坐標(biāo)公式D（$\frac{1}{2}$，$\frac{5}{2}$），
∴$k={k}_{AD}=\frac{\frac{5}{2}-\frac{4}{3}}{\frac{1}{2}-0}=\frac{7}{3}$．
故選：B．

點(diǎn)評 本題考查簡單的線性規(guī)劃，考查了數(shù)形結(jié)合的解題思想方法，是中檔題．