Question

10．已知集合A={（x，y）|x-y+m=0}，B={（x，y）|y=$\sqrt{1-（x-2）^{2}}$+1}，若A∩B=∅，則實數m的取值范圍是m＜-2或m＞-1+$\sqrt{5}$．

Answer 1

分析 根據集合A、B表示的幾何圖形，求出A∩B≠∅時m的取值范圍，再求A∩B=∅時實數m的取值范圍．

解答 解：集合A={（x，y）|x-y+m=0}，
B={（x，y）|y=$\sqrt{1-（x-2）^{2}}$+1}={（x，y）|（x-2）²+（y-1）²=1，且y≥1}，
當A∩B≠∅時，
直線x-y+m=0與半圓（x-2）²+（y-1）²=1（y≥1）有交點，
若直線l過點A（3，1），則3-1+m=0，解得m=-2；
若直線l與圓相切時，圓心C（2，1）到直線x-y+m=0的距離為d=r=1，
即$\frac{|2-1+m|}{\sqrt{{2}^{2}{+（-1）}^{2}}}$=1，
解得m=-1+$\sqrt{5}$或m=-1-$\sqrt{5}$（不合題意，舍去）；
綜上，A∩B≠∅時有-2≤m≤-1+$\sqrt{5}$，
所以A∩B=∅，實數m的取值范圍是m＜-2或m＞-1+$\sqrt{5}$．
故答案為：m＜-2或m＞-1+$\sqrt{5}$．

點評 本題考查了集合的運算問題，也考查了直線與圓的交點的應用問題，是綜合性題目．