Question

已知ABC是邊長為3的等邊三角形，點D、E分別是邊AB、AC上的點，且滿足==.將ADE沿DE折起到1ADE的位置，并使得平面A1DE⊥平面BCED.

    （Ⅰ）求證：A1D⊥EC；
（Ⅱ）設(shè)P為線段BC上的一點，試求直線PA1與平面A1BD所成角的正切的最大值．

Answer 1

證明:(1)因為等邊△的邊長為3,且,

所以,. 在△中,,

由余弦定理得.

 因為,

所以. ………………………3分

折疊后有,

因為平面平面  , 又平面平面,

平面,,所以平面

故A1D⊥EC.…………6分

（2）法一:由(1)的證明,可知,平面.

以為坐標原點,以射線、、分別為軸、軸、軸的正半軸,建立空間直角坐標系如圖 , 作于點,連結(jié)、 ，設(shè), 則,, ,

所以,,,

所以

因為平面, 所以平面的一個法向量為…8分

設(shè)直線與平面所成的角為,

所以,  

①若則……9分

②若則

令

因為函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以

即

所以

故所求的最大值為 （此時點P與C重合）…………12分

法二:如圖,作于點,連結(jié)、 ，

由(1)有平面,而平面,

所以,又, 所以平面

所以是直線與平面所成的角  , ………………………8分

設(shè),則,,DH=BD-BH=2-

所以A1H=

所以在△中,tan=

①若x=0，則tan=……………9分

②若則tan=

令

因為函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以

所以tan的最大值為（此時點P與C重合）…………12分