Question

已知點(diǎn)P₁（a₁，b₁），P₂（a₂，b₂），…，P_n（a_n，b_n）（n為正整數(shù)）都在函數(shù)y=(

1

2

)x的圖象上．
（1）若數(shù)列{a_n}是首項(xiàng)為1，公差也為1的等差數(shù)列，求{b_n}的通項(xiàng)公式；
（2）對(duì)（1）中的數(shù)列{a_n}和{b_n}，過(guò)點(diǎn)P_n，P_n+1的直線與兩坐標(biāo)軸所圍成的三角形面積為c_n，試證明：對(duì)一切正整數(shù)n，cn≤

9

8

；
（3）對(duì)（1）中的數(shù)列{a_n}，對(duì)每個(gè)正整數(shù)k，在a_k與a_k+1之間插入3^k-1個(gè)3，得到一個(gè)新的數(shù)列{d_n}，問(wèn)a₅是數(shù)列{d_n}中的第幾項(xiàng)．若設(shè)S_n是數(shù)列{d_n}的前n項(xiàng)和，試求S₁₀₀的值．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)題中已知條件以及等差數(shù)列的基本性質(zhì)，先求出b_n的通項(xiàng)公式，然后證明為常數(shù)即可證明；
（2）先求出直線P_nP_n+1的方程，然后求出它與x軸，y軸分別交于點(diǎn)A_n（n+2，0），Bn(0，

n+2

2n+1

)，表示出所圍成的三角形面積為c_n，最后利用作差法判定數(shù)列{c_n}的單調(diào)性，從而求出c_n范圍；
（3）從第一項(xiàng)a₁=1開始到a₅=5為止，共插入了3⁰+3¹+3²+3³=40個(gè)3，從而確定a₅=5是數(shù)列{d_n}中的第45項(xiàng)，在數(shù)列{d_n}中，a₅=5到a₆=6中間插入了3⁴=81個(gè)3，則S₁₀₀=S₄₅+55×3，從而求出所求．

解答：（本題滿分（18分），第1題（4分），第2題（6分），第3題8分）
解：（1）由已知，a_n=n，所以，bn=(

1

2

)n（n為正整數(shù)）．…（4分）
（2）因a_n=n，bn=(

1

2

)n，∴Pn(n，(

1

2

)n)，Pn+1(n+1，(

1

2

)n+1)，…（5分）kPnPn+1=

( 1 2 )n+1-( 1 2 )n

(n+1)-n

=-(

1

2

)n+1，直線P_nP_n+1的方程為y-(

1

2

)n=-(

1

2

)n+1(x-n)，…（6分），
它與x軸，y軸分別交于點(diǎn)A_n（n+2，0），Bn(0，

n+2

2n+1

)，
∴cn=

1

2

•|OAn|•|OBn|=

(n+2)2

2n+2

，…（8分）cn-cn+1=

(n+2)2

2n+2

-

(n+3)2

2n+3

=

n2+2n-1

2n+3

＞0，
∴數(shù)列{c_n}隨著n的增大而減小 …（9分）
∴cn≤c1=

9

8

．…（10分）
（3）∵a_n=n，∴數(shù)列{d_n}中，從第一項(xiàng)a₁=1開始到a₅=5為止，
共插入了3⁰+3¹+3²+3³=40個(gè)3，∴a₅=5是數(shù)列{d_n}中的第45項(xiàng)…（14分）
在數(shù)列{d_n}中，a₅=5到a₆=6中間插入了3⁴=81個(gè)3
∴S₁₀₀=S₄₅+55×3=（1+2+3+4+5）+40×3+55×3=300．…（18分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查了等差數(shù)列和等比數(shù)列的基本性質(zhì)以及函數(shù)的綜合應(yīng)用，考查了學(xué)生的計(jì)算能力和對(duì)數(shù)列的綜合掌握，解題時(shí)注意整體思想和轉(zhuǎn)化思想的運(yùn)用，屬于中檔題．