Question

3．如圖，圓C內(nèi)切于扇形AOB，$∠AOB=\frac{π}{3}$，若在扇形AOB內(nèi)任取一點，則該點在圓C內(nèi)的概率為$\frac{2}{3}$．

Answer 1

分析 本題是一個等可能事件的概率，試驗發(fā)生包含的事件對應(yīng)的包含的事件對應(yīng)的是扇形AOB，滿足條件的事件是圓，根據(jù)題意，構(gòu)造直角三角形求得扇形的半徑與圓的半徑的關(guān)系，進而根據(jù)面積的求法求得扇形OAB的面積與⊙C的面積比．

解答 解：由題意知本題是一個等可能事件的概率，設(shè)圓C的半徑為r，
試驗發(fā)生包含的事件對應(yīng)的是扇形AOB，
滿足條件的事件是圓，其面積為⊙C的面積=π•r²，
連接OC，延長交扇形于P．
由于CE=r，∠BOP=$\frac{π}{6}$，OC=2r，OP=3r，
則S_扇形AOB=$\frac{π•（3r）^{2}}{6}$=$\frac{3π{r}^{2}}{2}$，
∴⊙C的面積與扇形OAB的面積比是$\frac{2}{3}$．
∴概率P=$\frac{2}{3}$，
故答案為$\frac{2}{3}$．

點評 本題是一個等可能事件的概率，對于這樣的問題，一般要通過把試驗發(fā)生包含的事件同集合結(jié)合起來，根據(jù)集合對應(yīng)的圖形做出面積，用面積的比值得到結(jié)果．連接圓心和切點是常用的輔助線做法，本題的關(guān)鍵是求得扇形半徑與圓半徑之間的關(guān)系．