Question

已知函數(shù)f（x）=sin2xsinφ-2cos²xcos（π-φ）-sin （

π

2

+φ） （0＜φ＜π）在x=

π

6

時(shí)取得最大值．
（Ⅰ）求φ的值；
（Ⅱ）將函數(shù)y=f（x）圖象上個(gè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)擴(kuò)大到原來(lái)的2倍，縱坐標(biāo)不變，得到函數(shù)y=g（x）的圖象，若g（a）=

1

3

，求sina的值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）利用三角函數(shù)公式得出f（x）=cos（2x-φ），由已知，cos（2•

π

6

-φ）=1，且0＜φ＜π，解出φ=

π

3

．
（Ⅱ） 根據(jù)函數(shù)圖象變換規(guī)律，g（x）=f（

1

2

x）=cos（x-

π

3

），將α表示為（α-

π

3

）+

π

3

，再利用兩角和的正弦公式計(jì)算即可．

解答：解：（Ⅰ）f（x）=sin2xsinφ+2cos²xcosφ-cosφ
=sin2xsinφ+（1+cos2x）cosφ-cosφ
=sin2xsinφ+cos2xcosφ
=cos（2x-φ）
因?yàn)楹瘮?shù)f（x）在x=

π

6

時(shí)取得最大值，所以cos（2•

π

6

-φ）=1，
∵0＜φ＜π，∴φ=

π

3

．
（Ⅱ） 由（Ⅰ）知，f（x）=cos（2x-

π

3

），所以g（x）=f（

1

2

x）=cos（x-

π

3

），
于是有g(shù)（α）=cos（α-

π

3

）=

1

3

∴sin（α-

π

3

）=±

2 2

3

．
∴sinα=sin[（α-

π

3

）+

π

3

]=sin（α-

π

3

）cos

π

3

+cos（α-

π

3

）sin

π

3

=

3 ±2 2

6

點(diǎn)評(píng)：本題考查了三角函數(shù)公式的應(yīng)用，三角函數(shù)的性質(zhì)，函數(shù)圖象變換規(guī)律．在（2）中，應(yīng)將α表示為（α-

π

3

）+

π

3

，再利用兩角和的正弦公式計(jì)算．考查轉(zhuǎn)化、計(jì)算能力．