Question

已知橢圓C的中心在坐標(biāo)原點，右焦點為F(

7

，0)，A、B是橢圓C的左、右頂點，D是橢圓C上異于A、B的動點，且△ADB面積的最大值為12．
（1）求橢圓C的方程；
（2）求證：當(dāng)點P（x₀，y₀）在橢圓C上運動時，直線l：x₀x+y₀y=2與圓O：x²+y²=1恒有兩個交點，并求直線l被圓O所截得的弦長L的取值范圍．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：圓錐曲線中的最值與范圍問題

分析：（1）設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)，由△ADB面積的最大值為12，可得

1

2

×2ab=12，聯(lián)立

ab=12 c= 7 a2=b2+c2

，解得即可．
（2）由于點P（x₀，y₀）在橢圓C上運動，可得

y

2 0

=9(1-

x 2 0

16

)．圓心O到直線l：x₀x+y₀y=2的距離d=

2

7 16 x02+9

＜1（0≤x02≤16），即可證明直線l：x₀x+y₀y=2與圓O：x²+y²=1恒有兩個交點．利用弦長公式可得L=2

r2-d2

=2

1- 4 7 16 x02+9

，即可得出．

解答： （1）解：設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)，
∵△ADB面積的最大值為12，
∴

1

2

×2ab=12，即ab=12．
聯(lián)立

ab=12 c= 7 a2=b2+c2

，解得a=4，b=3，
∴橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為

x2

16

+

y2

9

=1．
（2）證明：∵點P（x₀，y₀）在橢圓C上運動，∴

x 2 0

16

+

y 2 0

9

=1，∴

y

2 0

=9(1-

x 2 0

16

)．
∴圓心O到直線l：x₀x+y₀y=2的距離d=

2

x02+y02

=

2

x02+9- 9 16 x02

=

2

7 16 x02+9

＜1（0≤x02≤16），
∴直線l：x₀x+y₀y=2與圓O：x²+y²=1恒有兩個交點．
L=2

r2-d2

=2

1- 4 7 16 x02+9

，
∵0≤x02≤16，
∴9≤

7

16

x02+9≤16，
∴

2 5

3

≤L≤

3

．

點評：本題考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)、直線與圓相交問題轉(zhuǎn)化為圓心到直線的距離與圓的半徑大小比較、弦長公式、點到直線的距離公式，考查了分析問題與解決問題的能力，考查了推理能力與計算能力，屬于難題．