直線y=
3
x與雙曲線C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞0，b＞0）左右兩支分別交于M、N兩點，F(xiàn)為雙曲線C的右焦點，O是坐標原點，若|FO|=|MO|，則雙曲線的離心率等于（　　）
A、
3
+
2
B、
3
+1
C、
2
+1
D、2
2
考點：雙曲線的簡單性質(zhì)
專題：計算題,直線與圓,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程
分析：根據(jù)直線的斜率公式，得∠NOF=60°，所以△ONF是以c為邊長的等邊三角形，得點N（
1
2
c，
3
2
c），代入雙曲線方程并化簡整理，得關(guān)于離心率e的方程，解之可得該雙曲線的離心率．
解答： 解：∵直線y=
3
x交雙曲左右兩支于M，N，且|OM|=|OF|，
∴由tan∠NOF=
3
，得∠NOF=60°，且|ON|=|OF|，
因此△ONF是以c為邊長的等邊三角形，
得N（
1
2
c，
3
2
c），代入雙曲線方程得
c2
4
a2
-
3c2
4
b2
=1
將e=
c
a
和b2=c2-a2代入化簡整理，
得
1
4
e2-
3
4
•
e2
e2-1
=1，解之得e2=4±2
3
，
∴雙曲線的離心率e=
3
+1（因為雙曲線離心率e＞1，舍去
3
-1）
故選B．
點評：本題給出直線交雙曲線于M、N兩點，且在|ON|=c的情況下求雙曲線的離心率，著重考查了雙曲線的簡單性質(zhì)和直線與雙曲線位置關(guān)系等知識，屬于基礎(chǔ)題．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知橢圓C的中心在坐標原點，右焦點為F(
7
，0)，A、B是橢圓C的左、右頂點，D是橢圓C上異于A、B的動點，且△ADB面積的最大值為12．
（1）求橢圓C的方程；
（2）求證：當點P（x0，y0）在橢圓C上運動時，直線l：x0x+y0y=2與圓O：x2+y2=1恒有兩個交點，并求直線l被圓O所截得的弦長L的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如圖，有一個長方形地塊ABCD，邊AB為2km，AD為4km．，地塊的一角是濕地（圖中陰影部分），其邊緣線AC是以直線AD為對稱軸，以A為頂點的拋物線的一部分．現(xiàn)要鋪設(shè)一條過邊緣線AC上一點P的直線型隔離帶EF，E，F(xiàn)分別在邊AB，BC上（隔離帶不能穿越濕地，且占地面積忽略不計）．設(shè)點P到邊AD的距離為t（單位：km），△BEF的面積為S（單位：km2）．
（1）求S關(guān)于t的函數(shù)解析式，并指出該函數(shù)的定義域；
（2）是否存在點P，使隔離出的△BEF面積S超過3km2？并說明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知雙曲線
x2
4
-
y2
m2
=1的右焦點到其漸近線的距離等于
3
，則該雙曲線的離心率等于（　�。�
A、
1
2
B、
3
2
C、2
D、
7
2

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知命題p：方程x2-2x+m=0有兩個不相等的實數(shù)根；命題q：函數(shù)y=（m+2）x-1是R上的單調(diào)增函數(shù)．若“p或q”是真命題，“p且q”是假命題，求實數(shù)m的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知正數(shù)x、y滿足
2
x
+
1
y
=1，則x+2y的最小值是
 
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=sin（2x+φ），其中φ∈（0，2π），若f（x）≤|f（
π
6
）|對x∈R恒成立，且f（
π
2
）＜f（π），則f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間是（　�。�
A、[kπ+
π
6
，kπ+
2π
3
]（k∈Z）
B、[kπ-
π
3
，kπ+
π
6
]（k∈Z）
C、[kπ，kπ+
π
2
]（k∈Z）
D、[kπ-
π
2
，kπ]（k∈Z）

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

若 a＞0，b＞0，且
1
a
+
1
b
=
ab
，求a3+b3的最小值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知圓x2+y2=8內(nèi)有一點P0（-2，1），AB為過點P0且傾斜角為α的弦，
（1）當α=135°時，求直線AB的方程；
（2）若弦AB被點P0平分，求直線AB的方程．

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同步練習(xí)冊答案