Question

設(shè)a為實(shí)數(shù)，函數(shù)的最大值為g（a）．
（1）求函數(shù)f（x）的定義域；
（2）設(shè)，把函數(shù)f（x）表示為t的函數(shù)h（t），并寫出定義域；
（3）求g（a）．

Answer 1

解：（1）由題意得，∴函數(shù)f（x）的定義域?yàn)閇-1，1]．
（2）由平方得．
由x∈[-1，1]得，t²∈[2，4]，所以t的取值范圍是．
又，∴．即，定義域?yàn)?img class='latex' src='http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/46961.png' />．
（3）由題意知g（a）即為函數(shù)的最大值．
注意到直線是拋物線的對稱軸，分以下幾種情況討論：
①當(dāng)a＞0時，函數(shù)的圖象是開口向上的拋物線的一段，
由知y=h（t）在上單調(diào)遞增，∴g（a）=h（2）=a+2．
②當(dāng)a=0時，h（t）=t，，∴g（a）=h（2）=2．
③當(dāng)a＜0時，函數(shù)的圖象是開口向下的拋物線的一段，．
a若，即時，則；
b若，即時，則；
c若，即時，則g（a）=h（2）=a+2；
綜上有．
分析：（1）函數(shù)的定義域即使函數(shù)有意義的自變量的取值范圍，根據(jù)偶次方根被開方數(shù)不小于零，列不等式組，解不等式組即可
（2）由平方得．∴，從而將函數(shù)f（x）換元為h（t），而h（t）的定義域即的值域，平方后求其值域即可
（3）由（2）知，可用換元法求函數(shù)的值域，函數(shù)h（t）為含參數(shù)的二次函數(shù)，其值域與a的取值有關(guān)，通過討論對稱軸的位置可得最大值關(guān)于a的函數(shù)g（a）．
點(diǎn)評：本題考查了求函數(shù)定義域的方法以及利用換元法求函數(shù)值域的方法，解題時要注意換元后函數(shù)的定義域的變化