Question

17．在平面直角坐標系中，當P（x，y）不是原點時，定義P的“伴隨點”為${P^'}（\frac{y}{{{x^2}+{y^2}}}，\frac{-x}{{{x^2}+{y^2}}}）$；當P是原點時，定義P的“伴隨點”為它自身，平面曲線C上所有點的“伴隨點”所構成的曲線C′定義為曲線C的“伴隨曲線”，現(xiàn)有下列命題：
①若點A的“伴隨點”是點A′，則點A′的“伴隨點”是點A；
②若曲線C關于x軸對稱，則其“伴隨曲線”C′關于y軸對稱；
③單位圓的“伴隨曲線”是它自身；
④一條直線的“伴隨曲線”是一條直線．
其中真命題的個數(shù)為（　�。�

• A． 1
• B． 2
• C． 3
• D． 4

Answer 1

分析 利用新定義，轉化求解判斷4個命題，是否滿足新定義，推出結果即可．

解答 解：對于①，若令P（1，1），則其“伴隨點”為$P'（\frac{1}{2}，-\frac{1}{2}）$，
而$P'（\frac{1}{2}，-\frac{1}{2}）$的“伴隨點”為（-1，-1），而不是P，故①錯誤；
對于②，設曲線f（x，y）=0關于x軸對稱，
則f（x，-y）=0與方程f（x，y）=0表示同一曲線，其“伴隨曲線”分別為
$f（\frac{y}{{{x^2}+{y^2}}}，\frac{-x}{{{x^2}+{y^2}}}）=0$與$f（\frac{-y}{{{x^2}+{y^2}}}，\frac{-x}{{{x^2}+{y^2}}}）=0$也表示同一曲線，
又曲線$f（\frac{y}{{{x^2}+{y^2}}}，\frac{-x}{{{x^2}+{y^2}}}）=0$與曲線$f（\frac{-y}{{{x^2}+{y^2}}}，\frac{-x}{{{x^2}+{y^2}}}）=0$的圖象關于y軸對稱，所以②正確；
對于③，設單位圓上任一點的坐標為P（cosx，sinx），其“伴隨點”為P'（sinx，-cosx）仍在單位圓上，故③正確；
對于④，直線y=kx+b上任一點P（x，y）的“伴隨點”為${P^'}（\frac{y}{{{x^2}+{y^2}}}，\frac{-x}{{{x^2}+{y^2}}}）$，
∴P′的軌跡是圓，故④錯誤，
所以正確的為序號為②③．
故選：B．

點評 本題考查命題的真假的判斷與應用，新定義的應用，考查轉化思想以及計算能力．