Question

【題目】設函數 ，函數 ，其中a為常數且a＞0，令函數f（x）=g（x）h（x）．
（1）求函數f（x）的表達式，并求其定義域；
（2）當 時，求函數f（x）的值域；
（3）是否存在自然數a，使得函數f（x）的值域恰為 ？若存在，試寫出所有滿足條件的自然數a所構成的集合；若不存在，試說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）解： ，其定義域為[0，a]；
（2）解：令 ，則 且x=（t﹣1）2

∴ （5分）

∴

∵ 在[1，2]上遞減，在[2，+∞）上遞增，

∴ 在 上遞增，即此時f（x）的值域為

（3）解：令 ，則 且x=（t﹣1）2∴

∵ 在[1，2]上遞減，在[2，+∞）上遞增，

∴y= 在[1，2]上遞增， 上遞減，

t=2時 的最大值為 ，

∴a≥1，又1＜t≤2時

∴由f（x）的值域恰為 ，由 ，解得：t=1或t=4

即f（x）的值域恰為 時，

所求a的集合為{1，2，3，4，5，6，7，8，9}

【解析】（1）將g（x），h（x）的解析式相乘可得到f（x）的解析式，g（x）和h（x）的定義域的交集即為f（x）的定義域，（2）當a=時，使用換元法，注意新元的取值范圍，結合對勾函數可得出f（x）的值域，（3）使用換元法得出f（t）的解析式，分類進行討論得到a的集合.
【考點精析】利用函數的定義域及其求法和函數的值域對題目進行判斷即可得到答案，需要熟知求函數的定義域時，一般遵循以下原則：①是整式時，定義域是全體實數;②是分式函數時，定義域是使分母不為零的一切實數;③是偶次根式時，定義域是使被開方式為非負值時的實數的集合;④對數函數的真數大于零，當對數或指數函數的底數中含變量時，底數須大于零且不等于1,零（負）指數冪的底數不能為零；求函數值域的方法和求函數最值的常用方法基本上是相同的．事實上，如果在函數的值域中存在一個最�。ù螅�數，這個數就是函數的最小（大）值．因此求函數的最值與值域，其實質是相同的．