Question

3．已知函數(shù)f（x）=ae^x-$\frac{1}{2}$x²-x（a∈R，e為自然對數(shù)的底數(shù)）．
（1）若曲線y=f（x）在點（1，f（1））處的切線與直線x+（e-2）y-1=0垂直，求f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）若函數(shù)f（x）有兩個極值點，求實數(shù)a的取值范圍；
（3）證明：當x＞1時，e^xlnx＞x$-\frac{1}{x}$．

Answer 1

分析 （1）求出f（x）的導數(shù)，可得切線的斜率，由兩直線垂直的條件：斜率之積為-1，解方程可得a=1，進而得到f（x）的導數(shù)，設(shè)g（x）=e^x-x-1，求出導數(shù)和單調(diào)區(qū)間，可得最小值，進而得到f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）方法一、函數(shù)f（x）有兩個極值點，即為h（x）=ae^x-x-1有兩個零點，求出h（x）的導數(shù)，對a討論，求出h（x）的單調(diào)區(qū)間和最值，解不等式即可得到所求a的范圍；
方法二、函數(shù)f（x）有兩個極值點，即為f′（x）=ae^x-x-1=0有兩個不等的實根，即有a=$\frac{x+1}{{e}^{x}}$有兩個不等實根．
令h（x）=$\frac{x+1}{{e}^{x}}$，求出導數(shù)和單調(diào)區(qū)間，極值和最值，結(jié)合x＞0，x≤0，h（x）的變化情況，即可得到所求a的范圍；
（3）由（1）可得x＞1時，e^x＞x+1＞0，lnx＞0，即有e^xlnx＞（x+1）lnx，設(shè)φ（x）=（x+1）lnx-x+$\frac{1}{x}$，求出導數(shù)和單調(diào)區(qū)間，可得φ（x）＞φ（1）=0，由不等式的傳遞性，即可得證．

解答 解：（1）f（x）=ae^x-$\frac{1}{2}$x²-x的導數(shù)f′（x）=ae^x-x-1，
可得曲線y=f（x）在點（1，f（1））處的切線斜率為ae-2，
由切線與直線x+（e-2）y-1=0垂直，可得（ae-2）•（-$\frac{1}{e-2}$）=-1，
解得a=1，即f（x）=e^x-$\frac{1}{2}$x²-x的導數(shù)f′（x）=e^x-x-1，
令g（x）=e^x-x-1，g′（x）=e^x-1，
當x＞0時，g′（x）＞0，g（x）遞增；當x＜0時，g′（x）＜0，g（x）遞減．
即有g(shù)（x）≥g（0）=0，即有f′（x）≥0，
則f（x）的單調(diào)增區(qū)間為（-∞，+∞）；
（2）解法一、由f′（x）=ae^x-x-1，
函數(shù)f（x）有兩個極值點，即為h（x）=ae^x-x-1有兩個零點，
h′（x）=ae^x-1，當a≤0時，h′（x）＜0，h（x）遞減，h（x）不可能有兩個零點；
當a＞0時，令h′（x）=0，可得x=-lna，
當x＞-lna時，h′（x）＞0，h（x）遞增；當x＜-lna時，h′（x）＜0，h（x）遞減．
可得x=-lna處h（x）有極小值也為最小值，
若函數(shù)h（x）有兩個零點，則h（-lna）＜0，即lna＜0，即有0＜a＜1；
解法二、由f′（x）=ae^x-x-1，
函數(shù)f（x）有兩個極值點，即為f′（x）=ae^x-x-1=0有兩個不等的實根，
即有a=$\frac{x+1}{{e}^{x}}$有兩個不等實根．
令h（x）=$\frac{x+1}{{e}^{x}}$，h′（x）=$\frac{-x}{{e}^{x}}$，
當x＞0時，h′（x）＜0，h（x）遞減；當x＜0時，h′（x）＞0，h（x）遞增．
h（x）在x=0處取得最大值1，
當x＞0時，h（x）＞0，x→+∞，h（x）→0，
當x≤0時，h（0）=1，h（-2）=-e²＜0，結(jié)合h（x）在（-∞，0）遞增，可得h（x）在（-∞，0）只有一個零點；
故0＜a＜1．
（3）證明：由（1）可得x＞1時，e^x＞x+1＞0，lnx＞0，
即有e^xlnx＞（x+1）lnx，
設(shè)φ（x）=（x+1）lnx-x+$\frac{1}{x}$，φ′（x）=lnx+$\frac{x+1}{x}$-1-$\frac{1}{{x}^{2}}$=lnx+$\frac{1}{x}$（1-$\frac{1}{x}$）＞0（x＞1），
所以φ（x）在（1，+∞）遞增，即有φ（x）＞φ（1）=0，
即（x+1）lnx＞x-$\frac{1}{x}$，
故當x＞1時，e^xlnx＞x$-\frac{1}{x}$．

點評 本題考查導數(shù)的運用：求切線的斜率和單調(diào)區(qū)間、極值和最值，考查函數(shù)方程的轉(zhuǎn)化思想，以及不等式的證明，注意運用分類討論和參數(shù)分離法，以及構(gòu)造函數(shù)法，考查化簡整理的運算能力，屬于難題．