Question

【題目】如圖，在四棱錐P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，AD∥BC，AB⊥AD，BC= ，AB=1，BD=PA=2，M 為PD的中點(diǎn)．

（1）求異面直線BD與PC所成角的余弦值；
（2）求二面角A﹣MC﹣D的平面角的余弦值．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵PA⊥平面ABCD，AB平面ABCD，AD平面ABCD，

∴PA⊥AB，PA⊥AD．又AD⊥AB，如圖，以AB，AD，AP所在直線為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系．

根據(jù)條件得AD= ，∴B（1，0，0），D（0， ，0），C ，P（0，0，2），

則 =（﹣1， ，0）， = ．

設(shè)異面直線BD，PC所成的角為θ，

則cos θ=|cos＜ ＞|= = = ．

即異面直線BD與PC所成角的余弦值為 ．

（2）解：設(shè)平面AMC的一個(gè)法向量為n1=（x1，y1，z1）， ，

則n1⊥ ，∴n1 =（x1，y1，z1） = ，

又n1⊥ ，∴n1 =（x1，y1，z1） = ，

取y1=- ，得x1=2，z1= ，故n1=（2，- ， ），

同理可得平面BMC的一個(gè)法向量n2=（1， ， ），

∵cos＜n1，n2＞= ，

∴二面角A﹣MC﹣D的平面角的余弦值為 ．

【解析】（1）建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量的夾角公式即可得出異面直線所成的角．（2）利用法向量的性質(zhì)、線面垂直的性質(zhì)、向量的夾角公式即可得出．
【考點(diǎn)精析】根據(jù)題目的已知條件，利用異面直線及其所成的角的相關(guān)知識(shí)可以得到問(wèn)題的答案，需要掌握異面直線所成角的求法：1、平移法：在異面直線中的一條直線中選擇一特殊點(diǎn)，作另一條的平行線；2、補(bǔ)形法：把空間圖形補(bǔ)成熟悉的或完整的幾何體，如正方體、平行六面體、長(zhǎng)方體等，其目的在于容易發(fā)現(xiàn)兩條異面直線間的關(guān)系．