Question

9．已知橢圓C的中心在坐標原點O，右焦點$F（\sqrt{3}，0）$，M、N是橢圓C的左、右頂點，D是橢圓C上異于M、N的動點，且△MND面積的最大值為2．
（1）求橢圓C的標準方程；
（2）設(shè)直線l與橢圓C相交于A，B兩點，直線OA，l，OB的斜率分別為k₁，k，k₂（其中k＞0）△OAB的面積為S，以O(shè)A，OB為直徑的圓的面積分別為S₁，S₂，若k₁，k，k₂恰好構(gòu)成等比數(shù)列，求$\frac{{{S_1}+{S_2}}}{S}$的最小值，并此時直線l的方程．

Answer 1

分析 （1）由已知可得c，由三角形MND面積的最大值為2得ab=2，結(jié)合隱含條件求得a，b的值，則橢圓方程可求；
（2）設(shè)直線l的方程為y=kx+m，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），聯(lián)立直線方程和橢圓方程，化為關(guān)于x的一元二次方程，利用根與系數(shù)的關(guān)系求得A，B的橫坐標的和與積，結(jié)合k₁，k，k₂恰好構(gòu)成等比數(shù)列求得k值，再由判別式大于0求得m的范圍，分別求出△OAB的面積為S，以O(shè)A，OB為直徑的圓的面積分別為S₁，S₂，代入$\frac{{{S_1}+{S_2}}}{S}$，利用基本不等式求得$\frac{{{S_1}+{S_2}}}{S}$的最小值，并求出此時直線l的方程．

解答 解：（1）由題意知，c=$\sqrt{3}$，$（{S}_{△MND}）_{max}=\frac{1}{2}×2a×b=ab=2$，
又a²=b²+c²，可得a=2，b=1．
∴橢圓C的標準方程為$\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}=1$；
（2）設(shè)直線l的方程為y=kx+m，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
由$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+m}\\{\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}=1}\end{array}\right.$，得（1+4k²）x²+8kmx+4（m²-1）=0．
則△=16（1+4k²-m²）＞0．
${x}_{1}+{x}_{2}=-\frac{8km}{1+4{k}^{2}}，{x}_{1}{x}_{2}=\frac{4（{m}^{2}-1）}{1+4{k}^{2}}$．
∵k₁，k，k₂恰好構(gòu)成等比數(shù)列，∴${k}^{2}={k}_{1}{k}_{2}=\frac{（k{x}_{1}+m）（k{x}_{2}+m）}{{x}_{1}{x}_{2}}$，
即$km（{x}_{1}+{x}_{2}）+{m}^{2}=0$．
∴$km•（-\frac{8km}{1+4{k}^{2}}）+{m}^{2}=0$，解得k=$\frac{1}{2}$（k＞0）．
此時△=16（2-m²）＞0，即m∈（-$\sqrt{2}，\sqrt{2}$）．
又由A、O、B三點不共線，得m≠0．
從而m∈（$-\sqrt{2}，0$）∪（0，$\sqrt{2}$）．
故S=$\frac{1}{2}|AB|•d=\frac{1}{2}\sqrt{1+{k}^{2}}|{x}_{1}-{x}_{2}|•\frac{|m|}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$
=$\frac{1}{2}\sqrt{（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}}•|m|=\sqrt{2-{m}^{2}}•|m|$．
又$\frac{{{x}_{1}}^{2}}{4}+{{y}_{1}}^{2}=1，\frac{{{x}_{2}}^{2}}{4}+{{y}_{2}}^{2}=1$，
∴${S}_{1}+{S}_{2}=\frac{π}{4}（{{x}_{1}}^{2}+{{y}_{1}}^{2}+{{x}_{2}}^{2}+{{y}_{2}}^{2}）=\frac{π}{4}$$（\frac{3}{4}{{x}_{1}}^{2}+\frac{3}{4}{{x}_{2}}^{2}+2）$
=$\frac{3π}{16}•[（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-2{x}_{1}{x}_{2}]+\frac{π}{2}=\frac{5π}{4}$．
$\frac{{{S_1}+{S_2}}}{S}$=$\frac{5π}{4}•\frac{1}{\sqrt{2-{m}^{2}}•|m|}≥\frac{5π}{4}$，（$\sqrt{2-{m}^{2}}•|m|≤\frac{2-{m}^{2}+{m}^{2}}{2}=1$）．
當且僅當m=±1時等號成立．
綜上，$\frac{{{S_1}+{S_2}}}{S}$的最小值為$\frac{5π}{4}$，此時直線l的方程為$y=\frac{1}{2}x+1$或y=$\frac{1}{2}x-1$．

點評 本題考查直線與橢圓位置關(guān)系的應(yīng)用，考查等差數(shù)列的性質(zhì)，考查學(xué)生分析問題和求解問題的能力，體現(xiàn)了“設(shè)而不求”的解題思想方法，是中檔題．