Question

14．已知等差數(shù)列{a_n}和公比大于1的等比數(shù)列{b_n}滿足a₁=b₁=1，a₂=b₂，a₅=b₃．
（1）求數(shù)列{a_n}，{b_n}的通項(xiàng)公式；
（2）若數(shù)列{a_nb_n}的前n項(xiàng)和為_Sn，且對(duì)任意n∈N^*均有λ[a_n+1b_n+1-2（S_n-1）]＞n²+n成立，求實(shí)數(shù)λ的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）利用等差數(shù)列、等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，列出方程組，即可求出向量的通項(xiàng)；
（2）利用錯(cuò)位相減法，即可求數(shù)列{a_nb_n}的前n項(xiàng)和為S_n，通過(guò)計(jì)算、變形可得問(wèn)題即求函數(shù)y=f（x）=$\frac{{x}^{2}+x}{{3}^{x+1}}$當(dāng)x取正整數(shù)時(shí)的最大值，計(jì)算即可．

解答 解：（1）設(shè)數(shù)列{a_n}的公差為d，數(shù)列{b_n}的公比q＞1，
∵a₁=b₁=1，
∴a₂=1+d，b₂=q，a₅=1+4d，b₃=q²，
∴（1+d）²=1•（1+4d），且1+d=q，
解得d=2，∴q=3，
∴a_n=1+2（n-1）=2n-1，
b_n=1•3^n-1=3^n-1；
（2）由（1）知，S_n=1×1+3×3+5×3²+…+（2n-1）•3^n-1 ①
∴3S_n=1×3+3×3²+…+（2n-3）•3^n-1+（2n-1）•3ⁿ ②
①-②：-2S_n=1+2×（3+3²+…+3^n-1）-（2n-1）•3ⁿ ，
∴S_n=（n-1）•3ⁿ+1，
∴S_n-1=（n-1）•3ⁿ．
又∵a_n+1b_n+1=（2n+1）•3ⁿ，
∴a_n+1b_n+1-2（S_n-1）=3ⁿ⁺¹，
∴λ[a_n+1b_n+1-2（S_n-1）]＞n²+n等價(jià)于λ＞$\frac{{n}^{2}+n}{{3}^{n+1}}$，
記y=f（x）=$\frac{{x}^{2}+x}{{3}^{x+1}}$，當(dāng)x＞0時(shí)其圖象如圖，
∵f（1）=f（2）=$\frac{2}{9}$，
∴λ≥$\frac{2}{9}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查等差數(shù)列與等比數(shù)列的基本關(guān)系式，考查錯(cuò)位相減法的應(yīng)用，考查計(jì)算能力，屬于中檔題．