Question

解關于x的不等式a²x²-ax-2＞0（其中實數(shù)a為常數(shù)）

Answer 1

【答案】分析：由a為實數(shù)，可用a等于0和不等于0兩種情況考慮：若a為0時，把a=0代入原不等式，顯然不等式不成立，故a=0時，原不等式無解；當a不為0時，得到a²大于0，令不等式左邊等于0得到一個方程，利用十字相乘法把方程的左邊分解因式，求出方程的解，再分a大于0和a小于0，比較出兩解的大小，利用同大取大，同小取小，大大小小無解，大小小大取中間的法則即可得到原不等式的解集，綜上，得到a等于0，a大于0及a小于0時原不等式的解集．
解答：解：根據(jù)題意分兩種情況考慮：
（i）當a=0時，原不等式化為-2＞0，顯然不成立，因此不等式的解集為∅；（3分）
（ii）當a≠0時，a²＞0，
由a²x²-ax-2=（ax+1）（ax-2）得：方程a²x²-ax-2=0的兩根為：，，（6分）
不等式a²x²-ax-2＞0變形為（ax+1）（ax-2）＞0，
可化為或，
則當a＞0時，解得：x＞或x＜-，
∴原不等式的解集為；
當a＜0時，解得：，
∴原不等式的解集為；
綜上可知，當a=0時，原不等式的解集為ϕ；
當a＞0時，原不等式的解集為；
當a＜0時，原不等式的解集為．（12分）
（如果學生前面表述均使用集合，也可以不進行綜述．也可理解為每個解集三分．）
點評：此題考查了一元二次不等式的解法，由于實數(shù)a的取值不確定，故本題利用分類討論的思想，要求學生考慮問題要全面，不要遺漏，同時要求學生靈活運用轉化的思想把一元二次不等式化為不等式組，利用不等式組取解集的方法來解決問題．