Question

【題目】選修4﹣5：不等式選講
已知函數(shù)f（x）=|x+1|﹣|x|+a．
（1）若a=0，求不等式f（x）≥0的解集；
（2）若方程f（x）=x有三個(gè)不同的解，求a的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）解：若a=0，f（x）=|x+1|﹣|x|= ，

∴當(dāng) x＜﹣1時(shí)，不等式 即﹣1≥0，解得x∈．

當(dāng)﹣1≤x＜0時(shí)，不等式即 2x+1≥0，解得 x≥﹣ ．綜合可得﹣ ≤x＜0．

當(dāng)x≥0 時(shí)，不等式即 1≥0，恒成立，故不等式的解集為x≥0．

綜上，不等式的解集為[﹣ ，+∞）．

（2）解：設(shè)u（x）=|x+1|﹣|x|，則函數(shù)u（x）的圖象和 y=x的圖象如下圖：

由題意易知，把函數(shù)y=u（x）的圖象向下平移1個(gè)單位以內(nèi)（不包括1個(gè)單位）與y=x的圖象始終有3個(gè)交點(diǎn)，

從而﹣1＜a＜0．

【解析】（1）若a=0，則f（x）= ，分 x＜﹣1時(shí)、當(dāng)﹣1≤x＜0時(shí)、當(dāng)x≥0 時(shí)，三種情況，分別求得不等式的解集，再取并集，即得所求．（2）設(shè)u（x）=|x+1|﹣|x|，由題意易知，把函數(shù)y=u（x）的圖象向下平移1個(gè)單位以內(nèi)（不包括1個(gè)單位）與y=x的圖象始終有3個(gè)交點(diǎn)，從而求得a的范圍．
【考點(diǎn)精析】解答此題的關(guān)鍵在于理解絕對值不等式的解法的相關(guān)知識，掌握含絕對值不等式的解法：定義法、平方法、同解變形法，其同解定理有；規(guī)律：關(guān)鍵是去掉絕對值的符號．