Question

6．已知函數(shù)f（x）=|x-5|+|x-3|．
（1）求函數(shù)f（x）的最小值m；
（2）若正實(shí)數(shù)a，b滿足$\frac{1}{a}$+$\frac{1}$=$\sqrt{3}$，求證：$\frac{1}{{a}^{2}}$+$\frac{2}{^{2}}$≥m．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)絕對(duì)值不等式|a+b|≥|a-b|便可得出|x+3|+|x-1|≥4，從而得出f（x）的最小值為4，即得到t=4；
（2）利用柯西不等式即可證明．

解答 （1）解f（x）=|x-5|+|x-3|≥|（x-5）-（x-3）|=2；
∴f（x）的最小值m為2；
（2）證明：∵a＞0，b＞0，$\frac{1}{a}$+$\frac{1}$=$\sqrt{3}$，
∴（$\frac{1}{{a}^{2}}$+$\frac{2}{^{2}}$）[${1}^{2}+（\frac{1}{\sqrt{2}}）^{2}$]≥$（\frac{1}{a}×1+\frac{\sqrt{2}}×\frac{1}{\sqrt{2}}）^{2}$=3≥2．

點(diǎn)評(píng) 考查絕對(duì)值不等式公式：|a|+|b|≥|a-b|，以及柯西不等式的應(yīng)用，屬于中檔題．