在△ABC中，內(nèi)角A，B，C對邊的邊長分別是a，b，c．已知c=2，C=
π
3
．
（Ⅰ）若△ABC的面積等于
3
，試判斷△ABC的形狀，并說明理由；
（Ⅱ）若sinC+sin（B-A）=2sin2A，求△ABC的面積．
考點：正弦定理
專題：解三角形
分析：（Ⅰ）△ABC為等邊三角形，理由為：利用余弦定理列出關(guān)系式，把c，cosC的值代入得到關(guān)系式，再由△ABC的面積等于
3
，利用三角形面積公式列出關(guān)系式，兩式聯(lián)立求出a與b的值，即可對于△ABC的形狀做出判斷；
（Ⅱ）已知等式利用誘導公式及二倍角的正弦函數(shù)公式化簡，再利用和差化積公式變形，由cosA為0與cosA不為0兩種情況，分別求出三角形ABC面積即可．
解答： 解：（Ⅰ）△ABC為等邊三角形，理由為：
∵c=2，C=
π
3
，
∴由余弦定理得：c2=a2+b2-2abcosC，即a2+b2-ab=4①，
∵△ABC的面積等于
3
②，
∴
1
2
absinC=
3
，即ab=4，
聯(lián)立①②解得：a=b=2，
則△ABC為等邊三角形；
（Ⅱ）由sinC+sin（B-A）=2sin2A，
變形得：sin（B+A）+sin（B-A）=4sinAcosA，即sinBcosA=2sinAcosA，
若cosA=0，即A=
π
2
，由c=2，C=
π
3
，得b=
2
3
3
，此時△ABC面積S=
1
2
bc=
4
3
3
；
若cosA≠0，可得sinB=2sinA，由正弦定理得：b=2a③，
聯(lián)立①③得：a=
2
3
3
，b=
4
3
3
，此時△ABC面積為S=
1
2
absinC=
2
3
3
．
點評：此題考查了正弦定理，余弦定理，以及三角形面積公式，熟練掌握正弦定理是解本題的關(guān)鍵．
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OA
•
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2
a
-
a
2
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1
x
+
1
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y
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．

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