Question

16．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，以原點(diǎn)O為極點(diǎn)，x軸的非負(fù)半軸為極軸，建立極坐標(biāo)系，曲線C₁的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}x=2\sqrt{2}cosα\\ y=2sinα\end{array}\right.（α∈R，α$為參數(shù)），曲線C₂的極坐標(biāo)方程為$ρcosθ-\sqrt{2}ρsinθ-5=0$．
（1）求曲線C₁的普通方程和曲線C₂的直角坐標(biāo)方程；
（2）設(shè)P為曲線C₁上一點(diǎn)，Q曲線C₂上一點(diǎn)，求|PQ|的最小值．

Answer 1

分析 （1）由$\left\{\begin{array}{l}x=2\sqrt{2}cosα\\ y=2sinα\end{array}\right.$消去參數(shù)α，得曲線C₁的普通方程，利用極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的互化方法，得到曲線C₂的直角坐標(biāo)方程；
（2）設(shè)P（2$\sqrt{2}$cosα，2sinα），利用點(diǎn)到直線的距離公式，即可求|PQ|的最小值．

解答 解：（1）由$\left\{\begin{array}{l}x=2\sqrt{2}cosα\\ y=2sinα\end{array}\right.$消去參數(shù)α，得曲線C₁的普通方程為$\frac{x^2}{8}+\frac{y^2}{4}=1$．
由$ρcosθ-\sqrt{2}ρsinθ-5=θ$得，曲線C₂的直角坐標(biāo)方程為$x-\sqrt{2}y-5=0$．
（2）設(shè)P（2$\sqrt{2}$cosα，2sinα），則
點(diǎn)P到曲線C₂的距離為$d=\frac{{|{2\sqrt{2}cosα-2\sqrt{2}sinα-5}|}}{{\sqrt{1+2}}}=\frac{{|{4cos（{α+\frac{π}{4}}）-5}|}}{{\sqrt{3}}}=\frac{{5-4cos（{α+\frac{π}{4}}）}}{{\sqrt{3}}}$．
當(dāng)$cos（{α+\frac{π}{4}}）=1$時(shí)，d有最小值$\frac{{\sqrt{3}}}{3}$，所以|PQ|的最小值為$\frac{{\sqrt{3}}}{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查參數(shù)方程、極坐標(biāo)方程與直角坐標(biāo)方程的互化，考查點(diǎn)到直線距離公式的運(yùn)用，屬于中檔題．