Question

18．已知數(shù)列{a_n}是等差數(shù)列，首項a₁=2，且a₃是a₂與a₄+1的等比中項．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（2）設(shè)b_n=$\frac{2}{（n+3）（{a}_{n}+2）}$，求數(shù)列{b_n}的前n項和S_n．

Answer 1

分析 （1）設(shè)等差數(shù)列的公差為d，首項a₁=2，且a₃是a₂與a₄+1的等比中項即可求出公差d，再寫出通項公式即可，
（2）化簡b_n根據(jù)式子的特點進行裂項，再代入數(shù)列{b_n}的前n項和S_n，利用裂項相消法求出S_n．

解答 解：（1）設(shè)等差數(shù)列{a_n}的公差為d，由a₁=2，且a₃是a₂與a₄+1的等比中項．
∴（2+2d）²=（3+3d）（2+d），
解得d=2，
∴a_n=a₁+（n-1）d=2+2（n-1）=2n，
（2）b_n=$\frac{2}{（n+3）（{a}_{n}+2）}$=$\frac{2}{（n+3）（2n+2）}$=$\frac{1}{（n+1）（n+3）}$=$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{n+1}$-$\frac{1}{n+3}$），
∴S_n=$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{4}$+$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{5}$+$\frac{1}{4}$-$\frac{1}{6}$+…+$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+2}$+$\frac{1}{n+1}$-$\frac{1}{n+3}$）=$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{n+2}$-$\frac{1}{n+3}$）=$\frac{5}{12}$-$\frac{2n+5}{2（n+2）（n+3）}$

點評 本題考查了等差數(shù)列的通項公式及前n項和公式，以及裂項相消法求數(shù)列的前n項和，考查了基礎(chǔ)知識和運算能力．