Question

3．遞增數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，若（2λ+1）S_n=λa_n+2，則實(shí)數(shù)λ的取值范圍是$（-1，\frac{1}{2}）$．

Answer 1

分析 利用遞推關(guān)系可得：a₁=$\frac{2}{λ+1}$（λ≠-1），$\frac{{a}_{n}}{{a}_{n-1}}$=$\frac{-λ}{λ+1}$．再利用單調(diào)性即可得出．

解答 解：∵（2λ+1）S_n=λa_n+2，∴n≥2時(shí)，（2λ+1）S_n-1=λa_n-1+2，相減可得：
n=1時(shí)，（2λ+1）a₁=λa₁+2，解得a₁=$\frac{2}{λ+1}$（λ≠-1）．
$\frac{{a}_{n}}{{a}_{n-1}}$=$\frac{-λ}{λ+1}$．
①若a₁=$\frac{2}{λ+1}$＞0，則$\frac{-λ}{λ+1}$＞1，解得$-1＜λ＜\frac{1}{2}$．
②若a₁=$\frac{2}{λ+1}$＜0，則0＜$\frac{-λ}{λ+1}$＜1，解得λ∈∅．
綜上可得：λ∈$（-1，\frac{1}{2}）$．
故答案為：$（-1，\frac{1}{2}）$．

點(diǎn)評 本題考查了數(shù)列遞推關(guān)系、數(shù)列的單調(diào)性、分類討論方法，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．