Question

11．如圖，已知梯形CDEF與△ADE所在平面垂直，AD⊥DE，CD⊥DE，AB∥CD∥EF，AE=2DE=8，AB=3，EF=9．CD=12，連接BC，BF．
（Ⅰ）若G為AD邊上一點(diǎn)，DG=$\frac{1}{3}$DA，求證：EG∥平面BCF；
（Ⅱ）求二面角E-BF-C的余弦值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）以D為原點(diǎn)，DC為x軸，DE為y軸，DA為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能證明EG∥平面BCF．
（Ⅱ）求出平面BEF的法向量和平面BFC的法向量，利用向量法能求出二面角E-BF-C的余弦值．

解答 證明：（Ⅰ）∵梯形CDEF與△ADE所在平面垂直，AD⊥DE，CD⊥DE，AB∥CD∥EF，
∴以D為原點(diǎn)，DC為x軸，DE為y軸，DA為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，
∵AE=2DE=8，AB=3，EF=9．CD=12，連接BC，BF．G為AD邊上一點(diǎn)，DG=$\frac{1}{3}$DA，
∴E（0，4，0），G（0，0，$\frac{4\sqrt{3}}{3}$），B（3，0，4$\sqrt{3}$），C（12，0，0），F(xiàn)（9，4，0），
$\overrightarrow{BC}$=（9，0，-4$\sqrt{3}$），$\overrightarrow{BF}$=（6，4，-4$\sqrt{3}$），$\overrightarrow{EG}$=（0，-4，$\frac{4\sqrt{3}}{3}$），
設(shè)平面BCF的法向量$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
則$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{BC}=9x-4\sqrt{3}z=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{BF}=6x+4y-4\sqrt{3}z=0}\end{array}\right.$，取z=3$\sqrt{3}$，得$\overrightarrow{n}$=（4，3，3$\sqrt{3}$），
∵$\overrightarrow{EG}•\overrightarrow{n}$=-12+12=0，EG?平面BCF，
∴EG∥平面BCF．
解：（Ⅱ）$\overrightarrow{EB}$=（3，-4，4$\sqrt{3}$），$\overrightarrow{EF}$=（9，0，0），
設(shè)平面BEF的法向量$\overrightarrow{m}$=（a，b，c），
則$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{EB}=3a-4b+4\sqrt{3}c=0}\\{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{EF}=9a=0}\end{array}\right.$，取c=1，$\overrightarrow{m}$=（0，$\sqrt{3}$，1），
平面BFC的法向量$\overrightarrow{n}$=（4，3，3$\sqrt{3}$），
設(shè)二面角E-BF-C的平面角為θ，
則cosθ=$\frac{|\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}|}{|\overrightarrow{m}|•|\overrightarrow{n}|}$=$\frac{6\sqrt{3}}{2\sqrt{52}}$=$\frac{3\sqrt{39}}{26}$．
∴二面角E-BF-C的余弦值為$\frac{3\sqrt{39}}{26}$．

點(diǎn)評 本題考查線面平行的證明，考查二面角的余弦值的求法，是中檔題，解題時要認(rèn)真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．