Question

（本小題滿分14分）

已知橢圓的中心在坐標原點，長軸長為,離心率，過右焦點的直線交橢圓于，兩點．

（Ⅰ）求橢圓的方程；

（Ⅱ）當直線的斜率為1時，求的面積；

（Ⅲ）若以為鄰邊的平行四邊形是矩形，求滿足該條件的直線的方程.

Answer 1

（1），（2）（3）

【解析】

試題分析：（Ⅰ）由已知，橢圓方程可設為．

∵長軸長為,離心率，∴．

所求橢圓方程為．

（Ⅱ）因為直線過橢圓右焦點，且斜率為，所以直線的方程為．

設，

由 得 ，解得 ．

∴ ．

（Ⅲ）當直線與軸垂直時，直線的方程為，此時小于，為鄰邊的平行四邊形不可能是矩形．

當直線與軸不垂直時，設直線的方程為．

由 可得．

∴．，

因為以為鄰邊的平行四邊形是矩形.

由得，

.所求直線的方程為．

考點：本題考查直線與橢圓的位置關系

點評：由已知條件可直接得到a,b，求出橢圓方程，求三角形面積要先用弦長公式，求出弦長，平行四邊形為矩形，用向量點乘積為0，算出k