Question

1．在平面直角坐標系中，傾斜角為α的直線l的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}x=1+tcosα\\ y=tsinα\end{array}\right.$（t為參數(shù)）．
（Ⅰ）以坐標原點O為極點，x軸非負半軸為極軸建立極坐標系（與平面直角坐標系的單位長度相同），當α=60°時，求直線l的極坐標方程；
（Ⅱ）已知點P（1，0），直線l與橢圓$\frac{x^2}{2}$+y²=1相交于點A、B，求|PA|•|PB|的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由直線l的參數(shù)方程$\left\{\begin{array}{l}x=1+\frac{1}{2}t\\ y=\frac{{\sqrt{3}}}{2}t\end{array}\right.$，消去t，可得普通方程．將x=ρcosθ，y=ρsinθ代入，得直線l的極坐標方程．
（Ⅱ）將直線l的參數(shù)方程代入橢圓方程得（2sin²α+cos²α）t²+2tcosα-1=0，利用|PA|•|PB|=|t₁t₂|，即可得出．

解答 解：（Ⅰ）由直線l的參數(shù)方程$\left\{\begin{array}{l}x=1+\frac{1}{2}t\\ y=\frac{{\sqrt{3}}}{2}t\end{array}\right.$，消去t，得$\sqrt{3}x-y-\sqrt{3}=0$．
將x=ρcosθ，y=ρsinθ代入，得直線l的極坐標方程為$\sqrt{3}ρcosθ-ρsinθ-\sqrt{3}=0$．
（Ⅱ）將參數(shù)方程$\left\{\begin{array}{l}x=1+tcosα\\ y=tsinα\end{array}\right.$，代入橢圓方程$\frac{x^2}{2}+{y^2}=1$，得（2sin²α+cos²α）t²+2tcosα-1=0，
其判別式△＞0恒成立，∴t₁t₂=$\frac{-1}{2si{n}^{2}α+co{s}^{2}α}$．
$|{PA}|•|{PB}|=|{{t_1}{t_2}}|=\frac{1}{{2{{sin}^2}α+{{cos}^2}α}}=\frac{1}{{{{sin}^2}α+1}}$．
∵0≤sin²α≤1，∴$|{PA}|•|{PB}|∈[{\frac{1}{2}\;\;，\;\;1}]$．

點評 本題考查了參數(shù)方程回去普通方程及其應(yīng)用、直角坐標方程化為極坐標方程、三角函數(shù)的基本關(guān)系及其單調(diào)性、一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．