Question

在長(zhǎng)方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中（如圖），AD=AA₁=1，AB=3，點(diǎn)E是棱AB上的點(diǎn)，當(dāng)AE=2EB時(shí)，求異面直線AD₁與EC所成角的大小，并求此時(shí)點(diǎn)C到平面D₁DE的距離．

Answer 1

【答案】分析：（解法一）：以DA為x軸，以DC為y軸，以DD₁為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系則E（1，2，0），A（1，0，0），D（0，0，0），D₁（0，0，1），C（0，3，0），由向量法能求出異面直線AD₁與EC所成角的大�。�
設(shè)點(diǎn)C到平面DED₁的距離為h，，，由，能求出點(diǎn)C到平面D₁DE的距離．
（解法二）作AE'∥CE交CD于E'，則∠D₁AE′的大小即為異面直線AD₁與EC所成角的大�。�由AB=3，AE=2EB，知EB=1，DE′=1，因?yàn)锳D=DD₁=1，所以，，所以△AD₁E'為正三角形，由此能求出異面直線AD₁與EC所成角的大�。�
設(shè)點(diǎn)C到平面DED₁的距離為h，，，由，能求出點(diǎn)C到平面D₁DE的距離．
解答：解：（解法一）：（如圖）以DA為x軸，以DC為y軸，以DD₁為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系．
∵AB=3，AE=2EB，
∴EB=1，AE=2，
則E（1，2，0），A（1，0，0），D（0，0，0），D₁（0，0，1），C（0，3，0），---（2分）
，，
設(shè)與的夾角為θ，
則，
∴，…..（5分）
從而異面直線AD₁與EC所成角的大小為．…..（6分）
設(shè)點(diǎn)C到平面DED₁的距離為h，
，（8分）．
，（10分）
由，
得，
∴．…．（12分）
（解法二）作AE'∥CE交CD于E'，
則∠D₁AE′的大小即為異面直線AD₁與EC所成角的大�。�（2分）
∵AB=3，AE=2EB，
∴EB=1，
∴DE′=1，
因?yàn)锳D=DD₁=1，
所以，（4分）
而，
所以△AD₁E'為正三角形，
，
從而異面直線AD₁與EC所成角的大小為．（6分）
設(shè)點(diǎn)C到平面DED₁的距離為h，
，（8分）．
，（10分）
由
得，
∴．（12分）
點(diǎn)評(píng)：本題考查點(diǎn)、線、面間距離的計(jì)算，解題時(shí)要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答，注意合理地進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化．