Question

【題目】設(shè)f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，且f（2）=0，當(dāng)x＞0時，有xf'（x）+f（x）＜0恒成立，則不等式xf（x）＞0的解集是（ ）
A.（﹣2，0）∪（2，+∞）
B.（﹣2，2）
C.（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞）
D.（﹣2，0）∪（0，2）

Answer 1

【答案】D
【解析】解：令g（x）=xf（x），g′（x）=xf'（x）+f（x）＜0，
∴g（x）在（0，+∞）遞減，
∵f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，
∴f（﹣x）=﹣f（x），
∴g（﹣x）=﹣xf（﹣x）=xf（x）=g（x），
∴g（x）在R是偶函數(shù)，
∴g（x）在（﹣∞，0）遞增，
而f（2）=0，故g（2）=g（﹣2）=0，
∴不等式xf（x）＞0，
∴g（x）＜g（2），∴|x|＜2，
解得：﹣2＜x＜2，
而x=0時，g（x）=0，
故不等式的解集是（﹣2，0）∪（0，2），
故選：D．
【考點精析】掌握利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性是解答本題的根本，需要知道一般的,函數(shù)的單調(diào)性與其導(dǎo)數(shù)的正負(fù)有如下關(guān)系： 在某個區(qū)間內(nèi)，(1)如果，那么函數(shù)在這個區(qū)間單調(diào)遞增；(2)如果，那么函數(shù)在這個區(qū)間單調(diào)遞減．