Question

2．設(shè)函數(shù)y=f（x）的定義域D，若對(duì)任意x₁，x₂∈D，都有|f（x₁）-f（x₂）|≤1，則稱函數(shù)y=f（x）為“storm”函數(shù)．已知函數(shù)f（x）=x³+bx²+cx+1的圖象為曲線C，直線y=kx-1與曲線C相切于（1，-10）．
（1）求f（x）的解析式；
（2）設(shè)0＜m≤2，若對(duì)x∈[m-2，m]，函數(shù)g（x）=$\frac{f（x）}{16m}$為“storm”函數(shù)，求實(shí)數(shù)m的最小值．

Answer 1

分析 （1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，求出k的值，得到關(guān)于b，c的方程，求出函數(shù)的解析式即可；
（2）問題等價(jià)于f（x）_max-f（x）_min≤16m，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性分別求出f（x）的最大值和f（x）的最小值，從而得到關(guān)于m的不等式，解出即可．

解答 解：（1）f'（x）=3x²+2bx+c，
又∵（1，-10）在直線y=kx-1上，∴k=-9，
∴$\left\{\begin{array}{l}f'（1）=-9\\ f（1）=-10\end{array}\right.$，∴$\left\{\begin{array}{l}b=0\\ c=-12\end{array}\right.$，
∴f（x）=x³-12x²+1，
（2）已知條件等價(jià)于在[m-2，m]上，f（x）_max-f（x）_min≤16m．
∵f（x）在[-2，2]上為減函數(shù)，且0＜m≤2，∴[m-2，m]?[-2，2]，
∴f（x）在[m-2，m]上為減函數(shù)，
∴$f{（x）_{max}}=f（m-2）={（m-2）^3}-12（m-2）+1$，$f{（x）_{min}}=f（m）={m^3}-12m+1$，
∴$f{（x）_{max}}-f{（x）_{min}}=-6{m^2}+12m+16≤16m$，
得m≤-2或$m≥\frac{4}{3}$，又0＜m≤2，
∴${m_{min}}=\frac{4}{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性、最值問題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，是一道中檔題．