Question

6．過(guò)橢圓3x²+4y²=48的左焦點(diǎn)F引直線交橢圓于A、B兩點(diǎn)，若|AB|=7，則此直線的方程為$\sqrt{3}$x+2y+2$\sqrt{3}$=0或$\sqrt{3}$x-2y+2$\sqrt{3}$=0．

Answer 1

分析 把橢圓方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程，求出左焦點(diǎn)F的坐標(biāo)，然后利用待定系數(shù)法設(shè)出AB的方程，與橢圓的方程聯(lián)立，消去y，得到關(guān)于x的一元二次方程，最后利用韋達(dá)定理、弦長(zhǎng)公式求出直線的斜率，注意單獨(dú)驗(yàn)證斜率不存在的情況．

解答 解：由橢圓3x²+4y²=48，得$\frac{{x}^{2}}{16}+\frac{{y}^{2}}{12}=1$，則a²=16，b²=12，
∴c=$\sqrt{{a}^{2}-^{2}}=\sqrt{16-12}=2$，∴F（-2，0），
對(duì)于直線AB，
當(dāng)AB⊥x軸時(shí)，將x=-2代入橢圓方程得y=±3，
∴|AB|=6，∴AB不垂直于x軸，
設(shè)直線AB方程為y=k（x+2），代入橢圓方程整理得：（3+4k²）x²+16k²x+16k²-48=0，
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
∴x₁+x₂=$\frac{-16{k}^{2}}{3+4{k}^{2}}$，x₁x₂=$\frac{16{k}^{2}-48}{3+4{k}^{2}}$，
∴|AB|=$\sqrt{（1+{k}^{2}）[（\frac{-16{k}^{2}}{3+4{k}^{2}}）^{2}-\frac{64{k}^{2}-192}{3+4{k}^{2}}]}$=$\frac{24（1+{k}^{2}）}{3+4{k}^{2}}=7$，
化簡(jiǎn)后得k²=$\frac{3}{4}$，∴k=±$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴AB的方程為：$\sqrt{3}$x+2y+2$\sqrt{3}$=0或$\sqrt{3}$x-2y+2$\sqrt{3}$=0．
故答案為：$\sqrt{3}$x+2y+2$\sqrt{3}$=0或$\sqrt{3}$x-2y+2$\sqrt{3}$=0．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)以及直線與橢圓的位置關(guān)系，一般是將直線方程代入橢圓方程消去y（或x）的一元二次方程，然后進(jìn)一步求解；本題是借助韋達(dá)定理、弦長(zhǎng)公式構(gòu)造出關(guān)于k的方程求解，計(jì)算量較大，是中檔題．