Question

【題目】已知橢圓：的離心率，點，點、分別為橢圓的上頂點和左焦點，且.

（1）求橢圓的方程；

（2）若過定點的直線與橢圓交于，兩點（在，之間）設(shè)直線的斜率，在軸上是否存在點，使得以，為鄰邊的平行四邊形為菱形？如果存在，求出的取值范圍？如果不存在，請說明理由.

Answer 1

【答案】（1）；（2）存在；.

【解析】

（1）根據(jù)離心率，結(jié)合的長度，即可列出方程，求解即可；

（2）設(shè)出直線方程，聯(lián)立橢圓方程，由直線和橢圓位置關(guān)系，求得的取值范圍，結(jié)合以及韋達定理，即可容易求得參數(shù)范圍.

（1）設(shè)橢圓焦距為，依題意，有 ①，

由有，有 ②，

又 ③，

由①②③可得，，

橢圓的方程.

（2）設(shè)直線的方程為，

設(shè)，

則，

，

，

由于菱形對角線垂直，則，

解得，

即，，

（當且僅當時，等號成立）.

所以存在滿足條件的實數(shù)，

的取值范圍為.