Question

已知圓C：（x-1）²+（y-3）²=16，直線l：（2m+3）x+（m+4）y+2m-2=0．
（1）無(wú)論m取任何實(shí)數(shù)，直線l必經(jīng)過(guò)一個(gè)定點(diǎn)，求出這個(gè)定點(diǎn)的坐標(biāo)；
（2）當(dāng)m取任意實(shí)數(shù)時(shí)，直線l和圓的位置關(guān)系有無(wú)不變性，試說(shuō)明理由；
（3）請(qǐng)判斷直線l被圓C截得的弦何時(shí)最短，并求截得的弦最短時(shí)m的值以及弦的長(zhǎng)度a．

Answer 1

分析：（1）展開(kāi)后把含有m的合并在一起，提取m后聯(lián)立兩直線組成的方程組求解定點(diǎn)的坐標(biāo)；
（2）根據(jù)直線過(guò)的定點(diǎn)在圓的內(nèi)部，說(shuō)明直線和圓的位置關(guān)系不變，一定相交；
（3）根據(jù)當(dāng)圓心C和P點(diǎn)的連線垂直于直線l時(shí)直線l被圓C截得的弦何時(shí)最短求解m的值和弦的長(zhǎng)度a．

解答：解（1）直線：l：（2m+3）x+（m+4）y+2m-2=0可變形m（2x+y+2）+（3x+4y-2）=0
由

2x+y+2=0 3x+4y-2=0

，解得

x=-2 y=2

．因此直線l恒過(guò)定點(diǎn)P（-2，2）；
（2）因?yàn)橐阎獔A的圓心C（1，3），半徑r=4，而（-2-1）²+（2-3）²=10＜16，
所以直線l過(guò)圓C：（x-1）²+（y-3）²=16內(nèi)一定點(diǎn)P（-2，2），故不論m取何值，直線l和圓總相交；
（3）當(dāng)直線l垂直于CP時(shí)，截得的弦最短，此時(shí)，k_l•k_CP=-1
kCP=

3-2

1+2

=

1

3

，kl=-

2m+3

m+4

=-3，得m=-9．
∴最短弦長(zhǎng)為a=2

r2-|CP|2

=2

16-10

=2

6

，所以m=-9，a=2

6

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了直線系方程，考查了直線和圓的位置關(guān)系，關(guān)鍵是明確直線l被圓C截得的弦何時(shí)最短，是中檔題．