Question

11．已知公比不為1的等比數(shù)列{a_n}中，a₁=1，a₂=a，且a_n+1=k（a_n+a_n+2）且對(duì)任意正整數(shù)都成立，若對(duì)任意相鄰三項(xiàng)a_m，a_m+1，a_m+2按某順序排列后成等差數(shù)列，則k=$\frac{2}{5}$．

Answer 1

分析 設(shè)數(shù)列{a_n}是等比數(shù)列，公比q=$\frac{{a}_{2}}{{a}_{1}}$=a，得到a_m=a^m-1，a_m+1=a^m，a_m+2=a^m+1，由此進(jìn)行分類討論，能求出所有k值．

解答 解：設(shè)數(shù)列{a_n}是等比數(shù)列，則它的公比q=$\frac{{a}_{2}}{{a}_{1}}$=a，
所以a_m=a^m-1，a_m+1=a^m，a_m+2=a^m+1，
①若a_m+1為等差中項(xiàng)，則2a_m+1=a_m+a_m+2，
即2a^m=a^m-1+a^m+1，解得：a=1，不合題意；
②若a_m為等差中項(xiàng)，則2a_m=a_m+1+a_m+2，
即2a^m-1=a^m+a^m+1，化簡(jiǎn)得：a²+a-2=0，
解得a=-2（舍1）；k=$\frac{{a}_{m+1}}{{a}_{m}+{a}_{m+2}}$=$\frac{{a}^{m}}{{a}^{m-1}+{a}^{m+1}}$=$\frac{a}{1+{a}^{2}}$=-$\frac{2}{5}$，
③若a_m+2為等差中項(xiàng)，則2a_m+2=a_m+1+a_m，
即2a^m+1=a^m+a^m-1，化簡(jiǎn)得：2a²-a-1=0，
解得a=-$\frac{1}{2}$；k=$\frac{{a}_{m+1}}{{a}_{m}+{a}_{m+2}}$=$\frac{{a}^{m}}{{a}^{m-1}+{a}^{m+1}}$=$\frac{a}{1+{a}^{2}}$=-$\frac{2}{5}$，
綜上可得，滿足要求的實(shí)數(shù)k有且僅有一個(gè)，k=-$\frac{2}{5}$，
故答案為：-$\frac{2}{5}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查滿足條件的實(shí)數(shù)值的求法，解題時(shí)要注意等差數(shù)列和等比數(shù)列的性質(zhì)的合理運(yùn)用，是中檔題．