Question

已知橢圓的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在軸上，離心率為，右焦點(diǎn)到右頂點(diǎn)的距離為．

（1）求橢圓的方程；

 （2）如圖，動(dòng)直線與橢圓有且僅有一個(gè)公共點(diǎn)，點(diǎn)是直線上的兩點(diǎn)，是橢圓的左右焦點(diǎn)，且，求四邊形面積的最大值。

Answer 1

.解：（1）設(shè)橢圓的方程為，半焦距為.

依題意，由右焦點(diǎn)到右頂點(diǎn)的距離為，得．

       解得，．

所以．                              

所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是．         ……………4分

（Ⅱ）將直線的方程代入橢圓的方程中，

  得．  

     由直線與橢圓僅有一個(gè)公共點(diǎn)知，

      化簡得：．                       

      設(shè)，，

     ∵，

       ．     

      ．………8分

        四邊形的面積， 

                       

           ．   

        當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，，故．

 所以四邊形的面積的最大值為．