（1）已知
e1
，
e2
是兩個不共線的向量，
a
=2
e1
-
e2
，
b
=k
e1
+
e2
，若
a
與
b
是平行向量，求實數(shù)k的值；
（2）如圖，
OA
=
a
，
OB
=
b
，
①設點P，Q是線段AB的三等分點，試用
a
，
b
表示向量
OP
+3
OQ
；
②設點A1，A2，…，A2012是線段AB的2013等分點，試用
a
，
b
表示向量
OA1
+
OA2
+…+
OA2012
（直接寫出結果）．
考點：平面向量數(shù)量積的運算
專題：計算題,平面向量及應用
分析：（1）
a
與
b
為平行向量，存在實數(shù)λ，
b
=λ
a
，根據向量相等，建立關于λ，k的方程組求解．
（2）①利用向量加法法則，結合共線向量的性質求解．
②在①的基礎上類比得出結果．
解答： 解：（1）
a
與
b
為平行向量，存在實數(shù)λ，
b
=λ
a
，
∴k
e1
+
e2
=λ(2
e1
-
e2
)
∴k
e1
+
e2
=2λ
e1
-λ
e2

又
e1
，
e2
不共線
∴
k=2λ
1=-λ
∴k=-2．
（2）①
OP
=
OA
+
AP
=
OA
+
1
3
AB
=
a
+
1
3
(
b
-
a
)=
2
3
a
+
1
3
b
，
即
OP
=
2
3
a
+
1
3
b
同理
OQ
=
1
3
a
+
2
3
b
，
∴
OP
+3
OQ
=
2
3
a
+
1
3
b
+
a
+2
b
=
5
3
a
+
7
3
b
，
②由①點P，Q是線段AB的三等分點時，
OP
+
OQ
=
OA
+
OB
=
a
+
b
；
點A1，A2，…，A2012是線段AB的2013等分點時，
OA1
+
OA2
+…+
OA2012
=(
OA1
+
OA2012
)+(
OA2
+
OA2012
)+…(
OA1006
+
OA1007
)=1006
a
+1006
b
．
點評：本題考查共線向量的性質，向量加法運算，類比猜想的思想方法．
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b
x
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f(x)
x
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（2）求證：
3
2
+1+
7
10
+…+
2n+1
n2+1
≥ln（
n2
2
+n+1）

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