Question

已知函數(shù)f（x）=

a+lnx

x

（a∈R）．
（Ⅰ）若a=4，求曲線f（x）在點(diǎn)（e，f（e））處的切線方程；
（Ⅱ）求f（x）的極值．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（Ⅰ）若a=4，求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求曲線f（x）在點(diǎn)（e，f（e））處的切線方程；
（Ⅱ）根據(jù)函數(shù)極值和導(dǎo)數(shù)之間的關(guān)系即可求f（x）的極值．

解答： 解：（Ⅰ）∵a=4，
∴f（x）=

a+lnx

x

=

4+lnx

x

，則f（e）=

5

e

．
又∵f′（x）=

-3-lnx

x2

，
∴f′（e）=

-3-lne

e2

=-

4

e2

，
∴f（x）在點(diǎn)（e，f（e））處的切線方程為：y-

5

e

=-

4

e2

(x-e)，
即4x+e²y-9e=0． 
（Ⅱ）函數(shù)f（x）的定義域?yàn)椋?，+∞），
函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為f′（x）=

1-(lnx+a)

x2

，由f′（x）＞0得0＜x＜e^1-a，此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞增，
由f′（x）＜0得x＞e^1-a，此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞減，
∴當(dāng)x=e^1-a時(shí)，函數(shù)f（x）取得極大值f（e^1-a）=e^a-1．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查函數(shù)的切線方程以及函數(shù)的極值，要求熟練掌握函數(shù)導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用．