Question

如圖，在正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，
（Ⅰ）求證：B₁D₁∥平面C₁BD；
（Ⅱ）求證：A₁C⊥平面C₁BD；
（Ⅲ）求二面角B-C₁D-C的余弦值．

Answer 1

分析：（I）根據(jù)正方體的幾何特征可得B₁D₁∥BD，結(jié)合線面平行的判定定理，即可得到B₁D₁∥平面C₁BD；
（Ⅱ）連接AC，交BD于O，則BD⊥AC，結(jié)合A₁A⊥BD，由線面垂直的判定定理得BD⊥平面A₁AC，進(jìn)而B(niǎo)D⊥A₁C，連接C₁O，可證得A₁C⊥C₁O，再利用線面垂直的判定定理即可得到A₁C⊥平面C₁BD；
（Ⅲ）取DC₁的中點(diǎn)E，連接BE，CD．根據(jù)二面角的定義，可判斷出∠BEC為二面角B-C₁D-C的平面角，解△BEC即可求出二面角B-C₁D-C的余弦值．

解答：解：（Ⅰ）∵B₁D₁∥BD，
又BD?平面C₁BD，B₁D₁?平面C₁BD，∴B₁D₁∥平面C₁BD．…（2分）
（Ⅱ）連接AC，交BD于O，則BD⊥AC．
又A₁A⊥BD，∴BD⊥平面A₁AC．∵A₁C?平面A₁AC，BD⊥A₁C．
連接C₁O，在矩形A₁C₁CA中，設(shè)A₁C交C₁O于M．
由

A1A

AC

=

OC

CC1

，知∠ACA₁=∠CC₁O．∴∠C1OC+A1CO=∠C1OC+∠CC1O=

π

2

，∴∠CMO=

π

2

，∴A₁C⊥C₁O．
又CO∩BD=0，CO?平面C₁BD，BD?平面C₁BD，∴A₁C⊥平面C₁BD．…（7分）
（Ⅲ）取DC₁的中點(diǎn)E，連接BE，CE．
∵BD=BC₁，∴BE⊥DC₁．∵CD=CC₁，∴CE⊥DC₁．∠BEC為二面角B-C₁D-C的平面角．
設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為a，則CE=

2

2

a．
又由BD=BC1=DC1=

2

a，得BE=

6

2

a．
在△BEC中，由余弦定理，得cos∠BEC=

BE2+CE2-BC2

2BE•CE

=

3

3

．
所以所求二面角的余弦值為

3

3

．…（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)點(diǎn)是二面角的平面角及求法，直線與平面垂直的判定，其中（I）的關(guān)鍵是根據(jù)正方體的幾何特征得B₁D₁∥BD，（II）的關(guān)鍵是得到BD⊥A₁C，A₁C⊥C₁O，（III）的關(guān)鍵是確定∠BEC為二面角B-C₁D-C的平面角．