Question

已知f(x)=

a-ccosx

b+csinx

+

b-csinx

a+ccosx

，其中a、b、c為正實數(shù)，x∈[0，

π

2

]．
（1）若f（x）=0，求常數(shù)a、b、c所滿足的條件；
（2）當(dāng)a=b=c≠0時，求函數(shù)y=f（x）的值域．

Answer 1

分析：（1）由f（x）=0，把函數(shù)解析式通分后，分子去括號合并后，令分子等于0，即可得到a，b及c滿足的關(guān)系式；
（2）由a=b=c，把a與b換為c，代入函數(shù)解析式，通分后設(shè)sinx+cosx=t，兩邊平方后，根據(jù)同角三角函數(shù)間的平方關(guān)系表示出sinxcosx，將表示出的sinxcosx及設(shè)出的sinx+cosx代入函數(shù)解析式，把函數(shù)解析式化為關(guān)于t的關(guān)系式，由sinx+cosx的范圍求出t的范圍，進而得到（t+1）²的范圍，即可得到函數(shù)的值域．

解答：解：（1）由f（x）=0，
可得

a-ccosx

b+csinx

+

b-csinx

a+ccosx

=

a2-c2cos2x+b2-c2sin2x

(b+csinx)(b+csinx)

=

a2+b2-c2

(b+csinx)(b+csinx)

=0，
得a²+b²-c²=0；
（2）當(dāng)a=b=c≠0時，y=

1

1+sinx+cosx+sinxcosx

，
令sinx+cosx=t，sinxcosx=

t2-1

2

，
∵x∈[0，

π

2

]，sinx+cosx=

2

sin（x+

π

4

），
∴t=sinx+cosx∈[1，

2

]，
而y=

1

1+sinx+cosx+sinxcosx

=

2

(t+1)2

，（t+1）²在[1，

2

]上是增函數(shù)，
∴（t+1）²∈[4，3+2

2

]，
∴函數(shù)y=f（x）的值域為[6-4

2

，

1

2

]

點評：此題考查了同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系，兩角和與差的正弦函數(shù)公式，二次函數(shù)的性質(zhì)，以及函數(shù)的值域，利用了換元的思想，熟練掌握基本關(guān)系是解本題的關(guān)鍵．